Si $f,g$ son uniformemente continuas demostrar $f+g$ es uniformemente continua

Question

Supongamos $f:E \rightarrow \mathbb{R}$ $g:E \rightarrow \mathbb{R}$ son uniformemente continuas, donde $E$ es un subconjunto de a $\mathbb{R}$. Mostrar que $f+g$ es uniformemente continua. ¿Qué acerca de la $fg$$\dfrac{f}{g}$?

Mi Intento

En primer lugar vamos a la definición; una función es uniformemente continua si
$$\forall \epsilon >0\ \ \exists \ \ \delta >0 \ \ \text{such that} \ \ |f(x)-f(y)|< \epsilon \ \ \forall \ \ x,y \in \mathbb{R} \ \ \text{such that} \ \ |x-y|<\delta$$

Suma $f+g$

Ahora a probar $f+g$ es uniformemente continua;
$\bullet$ Elija $\delta_1 >0$ tal que $\forall$ $x,y \in \mathbb{R}$ $|x-y|<\delta_1$ $\implies$ $|f(x)-f(y)|< \dfrac{\epsilon}{2}$
$\bullet$ Elija $\delta_2 >0$ tal que $\forall$ $x,y \in \mathbb{R}$ $|x-y|<\delta_1$ $\implies$ $|g(x)-g(y)|< \dfrac{\epsilon}{2}$
$\bullet$ Ahora tomar $\delta := min\{ \delta_1, \delta_2\}$ $|x-y|<\delta$ $\forall$ $x,y \in \mathbb{R}$ $\implies$ $|(f(x)+g(x))-(f(y)+g(y)|<|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|<\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}< \epsilon$

---

Producto $fg$

Ahora para $fg$ para que esto se sostenga ambos $f:E \rightarrow \mathbb{R}$ $g:E \rightarrow \mathbb{R}$ debe estar acotada , si no que no se mantiene (he.e$x $$x^2$).
$\bullet$ $\exists \ \ M>0 \ \ such \ that \ \ |f(x)|<M \ \ and \ \ |g(x)|<M \ \ \forall \ x \in E$
$\bullet$ Elija $\delta_1 >0$ tal que $\forall$ $x,y \in \mathbb{R}$ $|x-y|<\delta_1$ $\implies$ $|f(x)-f(y)|< \dfrac{\epsilon}{2M}$
$\bullet$ Elija $\delta_2 >0$ tal que $\forall$ $x,y \in \mathbb{R}$ $|x-y|<\delta_2$ $\implies$ $|g(x)-g(y)|< \dfrac{\epsilon}{2M}$
$\bullet$ Ahora tomar $\delta := min\{ \delta_1, \delta_2\}$ $|x-y|<\delta$ $\forall$ $x,y \in \mathbb{R}$ $\implies$ $|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \leq |g(x)||f(x)+f(y)|+|f(y)||g(x)+g(y)| $
$\leq M|f(x)+f(y)| +M|g(x)+g(y)|< M \dfrac{\epsilon}{2M} + M \dfrac{\epsilon}{2M} < \epsilon$

Son estas pruebas correcta? No estoy seguro de cómo acercarse a los $\dfrac{f}{g} caso , cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Un producto de uniforme de funciones continuas no es necesariamente uniformemente continua. Por ejemplo, establezca $E=\mathbb{R}$ y elija $f(x)=g(x)=x$. Su producto, $x^2$, es un ejemplo de un nonuniformlycontinuous función.

Answer 2

Sí, pero creo que te falta un paso a paso aquí:

$|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \leq |g(x)||f(x)+f(y)|+|f(y)||g(x)+g(y)| $

Creo que quisiste decir

$|f(x)g(x)-f(y)g(y)| = |f(x)g(x)-f(y)g(x)+f(y)g(x)-f(y)g(y)| \leq |g(x)||f(x)-f(y)|+|f(y)||g(x)-g(y)| \leq |g(x)||f(x)+f(y)|+|f(y)||g(x)+g(y)| $

o algo por el estilo?

Answer 3

Producto $fg$

Boundnness es suffient, pero no es necesario para la continuidad uniforme de producto $fg$.

Este es un ejemplo donde $f,g$ ambos son ilimitados, pero su producto es uniformemente continua: Deje $E=[0,\infty)$$f(x)=g(x)=\sqrt{x}$. Aquí $f$ $g$ son ilimitados, pero su producto $(fg)(x)=x$ es uniformemente continua.

$\frac fg$:
No es cierto que $\frac fg$ siempre es uniformemente continua. Vamos $E=[1,\infty)$,$f(x)=x$ y $g(x)=\frac{1}{x}$ $\left(\frac fg\right)(x)=x^2$ no es uniformemente continua en a $[1,\infty)$.

Answer 4

Como BCLC señaló, cómo llegó $$|f(x)g(x)-f(y)g(y)| \leq |g(x)||f(x)+f(y)|+|f(y)||g(x)+g(y)|$$ wasn't very clear. For the case $\frac{f}{g}$, you could note that $$\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}$$ y el uso de la parte anterior.