Si $x$ es una raíz del polinomio.....

Question

Demostrar: Si $x$ es una raíz del polinomio:

Yo creo que si asumo $\frac{a}{b}$ es una raíz del polinomio, donde $a$ $b$ son relativamente primos, si me enchufe en la ecuación anterior y se multiplican ambos lados por $b^m$, y muestran que la $b$ debe ser igual a $1$, no puedo encontrar una respuesta, pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Como se dijo en los comentarios: supongamos que hay una raíz racional $x=a/b$, escrito en forma irreductible, yo. e. $a$ $b$ son coprime, y multiplicar por $b^m$. Usted obtener \begin{align*} &a^m+c_1a^{m-1}b+c_2a^{m-2}b^2+\dots+c_mb^m=0\\\iff \enspace &a^m=-b(c_1a^{m-1}+c_2a^{m-2}b+\dots+c_mb^{m-1}) \end{align*} por lo $b$ divide $a^m$. Como $a$$b$, por lo tanto $a^m$ $b$ son coprime, esto es imposible, a menos que $b=\pm1$. Esto demuestra $x$ es un número entero.

Nota: Podemos, asimismo, demostrar $a$ es un divisor de a $c_m$ si escribimos la ecuación como $$a(a^{m-1}+c_1a^{m-2}b+c_2a^{m-3}b^2+\dots+c_{m-1}b^{m-1})=-c_mb^m.$$