Epsilon Inducción implica el Axioma De Fundación (O Regularidad)

Question

Sé que, dado el otro Zermelo-Fraenkel Axiomas, Epsilon Inducción es equivalente al Axioma De Fundación.

He demostrado que el Axioma De Fundación implica Epsilon de Inducción, pero no puedo probar la otra implicación. Cualquier sugieren?

Answer 1

Esto es similar a la de Brian de responder, pero con menos negaciones. Demostrar, por $\in$-inducción en $x$ que "Cada set $u$ que contiene $x$ (como elemento) tiene un $\in$-el mínimo de miembros, es decir, no es$y\in u$$y\cap u=\varnothing$." El punto es que, si $x$ sí no es un mínimo miembro de $u$, entonces hay algunas $x'\in x\cap u$, y se puede aplicar la hipótesis de inducción a $x'$.

Answer 2

El contrapositivo de $\in$-inducción dice que si $\varphi(x)$ falla por algún conjunto $x$, entonces no es un conjunto $x$ tal que $\varphi(y)$ mantiene para cada una de las $y\in x$, pero $\varphi(x)$ falla. Ahora vamos a $a$ ser cualquier conjunto, y deje $\varphi_a(x)$ ser la fórmula $x\notin a$. Utilice el contrapositivo de demostrar que cualquiera de las $a=0$, o hay un $x\in a$ tal que $x\cap a=0$.