Una medida se concentra en un subconjunto

Question

En un espacio de medidas $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ En el análisis real y complejo de Rudin, con algunas modificaciones de las notaciones:

Si hay un conjunto $A \in \mathcal{F}$ tal que $\mu(E) = \mu(A \cap E) $ por cada $E \in \mathcal{F}$ Decimos que decimos que $\mu$ se concentra en $A$ .

Me preguntaba si según la definición, es cierto que $\mu$ se concentra en $A \in \mathcal{F}$ si y sólo si $\mu(A) = \mu(\Omega) $ ? En caso afirmativo, ¿por qué se complicó la definición más de lo que es?

Gracias y saludos.

Answer 1

Tienes razón en que la condición es demasiado complicada para finito medidas (positivas) y que en ese caso su propuesta de definición es equivalente porque $\mu(\Omega) = \mu(A) + \mu(\Omega \smallsetminus A)$ Así que $\mu(\Omega \smallsetminus A) = 0$ si $\mu$ es finito y positivo (por tanto $\mu$ no cobra ningún subconjunto de $\Omega \smallsetminus A$ ).

La cuestión es que la medida podría ser infinita y nuestro argumento ya no es válido ya que podríamos haber utilizado $\infty - \infty =0$ Lo cual no es una buena idea. Por ejemplo, si se piensa en la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ entonces $\mu([0,\infty)) = \infty$ pero no tiene mucho sentido decir que la medida de Lebesgue está concentrada en $[0,\infty)$ ya que también carga conjuntos en los reales negativos. Esto también ilustra por qué no queremos decir $\infty - \infty = 0$ en muchas situaciones.

Además, la definición de Rudin también es la correcta para firmado medidas.