La distribución de 6 naranjas, 1 manzana, 1 plátano y 1 piña entre 3 niños

Question

si nosotros tenemos 6 naranjas, 1 manzana, 1 plátano y 1 piña. De cuántas maneras podemos distribuir esta a 3 niños (cada niño debe recibir al menos una fruta)?

Yo estaba tratando de hacerlo de una manera en donde nos dicen que hemos de 9 naranjas que podemos distribuir 28 de formas y que multiplicamos este con 3 para cada uno de los diferentes tipos de frutas, excepto las naranjas como: 28*3*3*3 pero esto no es correcto.

Answer 1

Este problema se complica un poco por la condición de que cada niño reciba, al menos, 1 fruta. Sin esa condición, la solución se calcula como sigue: Hay $\binom{6+3-1}{3-1} = \binom{8}{2} = 28$ formas de distribuir las 6 naranjas. Para todos los demás frutos, hay $3$ posibilidades. Así, obtenemos el número de $$28\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 756.$$

Ahora vamos a modificar esta solución para el problema original. En el número anterior no es correcto, ya que incluye la prohibición de las distribuciones de donde algunos de los niños no recibe ningún tipo de fruta.

Para compensar esto, vemos que hay $\binom{7}{1}\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 56$ distribuciones donde un fijo niño no recibe ningún tipo de fruta. Esto lleva a que el nuevo número $$756 - 3\cdot 56 = 588.$$

Esto todavía no es correcta, ya que le restan los casos dos veces cuando dos fijas niño no recibe ningún tipo de fruta. Para cada par de niños hay un solo ejemplo de distribución (el tercer niño recibe todos los frutos). Así que la respuesta final es $$ 588 + 3 = \mathbf{591}.$$

El anterior razonamiento es el llamado "principio de inclusión y exclusión".

Answer 2

azimut ha proporcionado una solución elegante. Aquí hay otro método:

Considerar las formas en que se puede distribuir la manzana, el banano y la piña.

1. Podemos dar a cada niño una de estas tres frutas, que se puede hacer en $3! = 6$ maneras. Ya que cada niño tiene ahora una fruta, el número de maneras en que podemos distribuir las naranjas es el número de soluciones de la ecuación $$x_1 + x_2 + x_3 = 6$$ en los enteros no negativos, lo cual es equivalente a la cantidad de maneras en las que podemos colocar dos, además de los signos en una lista de seis, que es$$\binom{6 + 2}{2} = \binom{8}{2} = 28$$, por tanto, el número de maneras en que podemos distribuir la fruta si cada niño recibe una fruta seleccionada de la manzana, el plátano, la piña es $$3!\binom{8}{2} = 6 \cdot 28 = 168$$

2. Podemos dar a un niño de dos frutas seleccionadas de la manzana, el banano y la piña, y la tercera de estas tres frutas a uno de los dos niños restantes, que se puede hacer en $$3 \cdot \binom{3}{2} \cdot 2 = 18$$ ways since there are three ways to select the child who receives three pieces of fruit, $\binom{3}{2}$ ways of selecting the fruits that child receives, and two ways of selecting the child who receives the remaining piece of fruit. When we distribute the oranges, the third child must receive an orange, so we are left with five oranges to distribute among the three children, which can be done in $$\binom{5 + 2}{2} = \binom{7}{2} = 21$$ maneras. Por lo tanto, hay $$3 \cdot \binom{3}{2} \cdot 2 \cdot \binom{7}{2} = 18 \cdot 21 = 378$$ formas de distribuir la fruta cuando nos dan dos frutas seleccionadas de la manzana, el plátano, la piña y a un hijo, y la tercera de frutas a una niña diferente.

3. Podemos dar uno de los tres hijos de la manzana, el banano y la piña, que se puede hacer de tres maneras, ya que hay tres niños. Debemos dar a cada uno de los otros dos hijos, una naranja, lo que nos deja con cuatro naranjas a distribuir, que se puede hacer en $$\binom{4 + 2}{2} = \binom{6}{2} = 15$$ maneras. Por lo tanto, el número de maneras en que podemos distribuir la fruta si le damos a un niño de la manzana, el plátano, la piña es $$3 \cdot \binom{6}{2} = 3 \cdot 15 = 45$$

La adición de los tres distintos casos se obtiene un total de $168 + 378 + 45 = 591$ formas de distribuir la fruta entre los niños, si cada niño recibe al menos una fruta.