¿Por qué se dispersan algunos tipos de ondas?

Question

Sabemos que algunos medios/ondas no son dispersivos, como el aire para las ondas sonoras, y las ondas en una cuerda. Pero, ¿por qué algunas ondas, por ejemplo las de aguas profundas, se dispersan?

Estoy tratando de entender la física subyacente a la razón por la que la velocidad de una onda de agua depende del número de onda $k$ .

Answer 1

Pero, ¿por qué algunas olas, por ejemplo las de aguas profundas, se dispersan?

Dispersión puede surgir de varias cosas. Sin embargo, la idea básica fundamental es que el medio responde a la onda de alguna manera (por ejemplo, la onda excita una resonancia en el medio).

Ejemplo: Plasmas y ondas electromagnéticas
En el caso de un plasma Las ondas electromagnéticas pueden polarizar localmente el medio induciendo pequeñas dipolos (o inducen corrientes, según el modo y el medio) que alteran la propagación de la onda (por ejemplo, reducen el velocidad de fase ). Si el medio es no dispersivo, esto equivale a decir que el tiempo de respuesta del medio a la onda es tan lento que es cero comparado con la frecuencia de la onda (es decir, es como si las corrientes se indujeran instantáneamente). Sin embargo, si el medio tiene un tiempo de respuesta finito, entonces la velocidad de fase de la onda dependerá de su frecuencia.

Dos tipos de dispsersión
Hay dos formas de pensar en la dispersión, la espacial y la temporal. En lo que sigue utilizaré la palabra actual para describir de forma general los movimientos de las partículas, pero puede representar igualmente las corrientes eléctricas.

En la dispersión espacial (siempre dentro de un plasma), el campo electromagnético total en un punto dado está determinado por las corrientes dentro de un volumen centrado en ese punto. Cuanto mayor sea el volumen necesario para determinar el campo, mayor será la dispersión espacial.

En la dispersión temporal (aún dentro de un plasma), el campo electromagnético total en un punto determinado puede depender de las corrientes de tiempos anteriores. Cuanto más larga sea la memoria de estas corrientes anteriores, más fuerte será la dispersión temporal.

Ambas son representaciones del concepto de no localidad, es decir, las propiedades de las ondas en una posición espacial y temporal determinada pueden no ser independientes de otras posiciones espaciales y temporales.

Estoy tratando de entender la física subyacente a la razón por la que la velocidad de una onda de agua depende del número de onda k.

En el caso de ondas de agua la no-localidad que mencioné al principio es introducida por las órbitas de los elementos individuales del fluido (o órbitas de onda ) al paso de una ola. La fuerza motriz suele ser el viento, que genera gradientes de presión no homogéneos sobre la superficie del agua. La fuerza restauradora es la gravedad (a longitudes de onda cortas, la tensión superficial empieza a importar y las olas se llaman entonces ondas capilares ). La relación de dispersión general para las ondas gravitacionales es $$ \omega^{2} = g \ k \ \tanh{\left( k \ h \right)} \tag{1} $$ donde $\omega$ es la frecuencia angular, $g$ es la aceleración de la gravedad, $k$ es el número de onda, y $h$ es la profundidad del agua.

En aguas poco profundas (es decir, cuando la profundidad del agua es inferior a la longitud de onda, $\lambda$ ), las órbitas de las ondas se comprimen en elipses y la longitud de onda ya no importa en el relación de dispersión . Entonces la velocidad de la fase se reduce a (es decir, $\tanh{x} \rightarrow x$ ): $$ \frac{\omega}{k} \equiv V_{ph} \approx \sqrt{g \ h} \tag{2} $$ que no tiene dispersión de frecuencia.

En el caso de las olas de aguas profundas (básicamente ondas gravitacionales ), las órbitas no se ven afectadas por el fondo del lago/mar/océano y la gravedad actúa como fuerza de restauración durante las órbitas de los elementos fluidos (o órbitas de onda ). Entonces la velocidad de la fase se reduce a (es decir, $\tanh{x} \rightarrow 1$ ): $$ \begin{align} V_{ph} & \approx \sqrt{\frac{g}{k}} \tag{3a} \\ & = \sqrt{\frac{g \ \lambda}{2 \ \pi}} \tag{3b} \\ & = \frac{g}{\omega} \tag{3c} \end{align} $$

La idea básica de por qué la velocidad de fase depende de la longitud de onda en una onda de aguas profundas es similar a la de un péndulo lineal ya que la gravedad es la fuerza restauradora en ambos casos. Se puede imaginar que la longitud del péndulo es análoga a la longitud de onda de la onda y se tiene una ecuación para a oscilador armónico simple .

Answer 2

No estoy seguro de si incluyes el análisis matemático en la "comprensión de la física subyacente", pero la cuestión es que la onda básica es la solución del vector propio del operador considerado en el sistema físico que estudias. Para las ondas superficiales en los fluidos, escribiendo imcompresible + irrotacional + condición de contorno en la interfaz (es decir Teoría de las ondas de Airy ) se produce para dar lugar a una relación no lineal entre $w$ et $k$ , por lo que c=w/k no es constante.