Cuatro hombres, sombreros y probabilidad

Question

Me encontré con los cuatro hombres con sombreros de puzzle para el primer tiempo de hoy. Mi pregunta es acerca de una realización I (creo yo) había al llegar a la solución, pero no tengo idea de si he cometido un error en alguna parte.

Antes de llegar a la respuesta real, yo estaba pensando acerca de cada hombre, las posibilidades de acertar su sombrero de color. Mi proceso de pensamiento fue algo a lo largo de estas líneas:

• A primera vista, D tiene las mejores posibilidades, como se puede ver la mayoría.
• Colgar en - D sólo tiene un 1 en 2 la casualidad, lo mismo que cualquier otra persona.
• A alguien más? No C puede ver que B tiene un sombrero blanco, así que sabe que sólo hay el uno del otro. Puede ser en una de tres cabezas, por lo que si adivinaba que su propia es de color negro, de sus posibilidades de derecho de 2 en 3.

Lo que me tiró sobre esto, suponiendo que la última realización no es defectuoso de alguna manera, es que D puede también ver que B tiene un sombrero blanco. De alguna manera, C tiene una mejor oportunidad de ser un derecho, a pesar D (en algún sentido) tiene más conocimiento, al menos para esta configuración de sombreros.

Lo que me estoy perdiendo?

ACTUALIZACIÓN

Gracias por las respuestas hasta ahora. Creo que no fue muy claro en lo que me estaba pidiendo, sin embargo: me las arreglé para resolver el rompecabezas, pero lo que me confundió fue la constatación de que describí anteriormente, mientras que para llegar allí. Olvidar el objetivo original del rompecabezas (¿cómo los hombres de la razón acerca de la solución), y sólo tomando en consideración sus posibilidades de éxito en la adivinanza, ¿cómo explicar el hecho de que C, las posibilidades parecen mejor que D's, aunque s puede ver todo lo que C puede, y más?

Answer 1

Me gusta pensar en ello en términos de la cantidad de información que cada persona tiene acerca de los sombreros.

En primer lugar, D tiene más información ya que él ve dos sombreros en frente de él. Si son del mismo color, se puede saber con certeza de qué colores cada hombre tiene. Observe que cuando C y B tienen diferentes colores, D sabe C y B sombrero de color, que la información pasa a ser inútil en averiguar D del color.

Debido a que D es silenciosa, en la que las señales a C D ve a dos gorros de diferente color. En este punto, C ha obtenido toda la información que D tiene: él sabe que hay dos diferentes colores en la parte delantera de D, él sabe B del color, lo que significa que se puede averiguar su propio color.

Ahora, C no tiene una mayor probabilidad a adivinar una determinada persona sombrero de color que D: Ambos tienen un 0.5 posibilidad de adivinar Un sombrero de color, ambos tienen un 0.5 posibilidad de adivinar D del color, que ambos saben que B del color, y ambos saben C del color.

Simplemente resulta muy bien para C que es una de las personas cuyos colores de sombrero D y C tanto sabes acerca de.

Para introducir una modificación de la challange: si la tarea fuera a gritarle C el sombrero de color de inmediato, D sabríamos con certeza, C tendría el aumento en la probabilidad de $2/3$, y a y B se quedó con la estimación aleatoria de $1/2$. D todavía sabe más.

Answer 2

(Una advertencia: voy a suponer que el rompecabezas se resolverá específicamente para la configuración de sombreros especificado en la imagen que enlace a.)

Lo que falta en este rompecabezas es el meta-conocimiento; C no sabe el color de la D del sombrero, pero él probablemente sabe que D es una inteligente que razona. Esto significa que si D no llama a una respuesta, entonces él no sabe una respuesta. Pero si C hat eran del mismo color como B, entonces D sería capaz de adivinar el color de su sombrero rápidamente; desde él se pueden ver a dos sombreros de un color y sabe que sólo hay dos sombreros de cada color, entonces D sabría su sombrero debe ser de otro color. Puesto que D no dice nada acerca de esto, C puede divina que su sombrero y B deben ser de colores diferentes - y desde él se puede ver B del sombrero, que le da el color de su propio.

Más allá de eso, creo que usted se enrede en los conceptos de corrección y el conocimiento, y la idea de que un mayor conocimiento siempre conduce a una mayor corrección. Intuitivamente esto parece plausible, pero no hay ninguna razón matemática, ¿por qué debe ser así; y otro ángulo en el que podría mostrar por qué la intuición que está mal. Pensar en el problema como la extracción de las bolas sin reemplazo de un cubo que tiene un (conocido) a igual número de bolas de dos colores, y tratando de adivinar el color de la siguiente bola se tira. Después de cada extracción que 'sabes' una cantidad igual acerca de la distribución de las bolas que quedan en la bandeja - tenemos información perfecta acerca de ello! - pero no hay ninguna correlación entre eso y nuestras probabilidades de ser capaz de adivinar la siguiente bola; el último es simplemente un artefacto de la inclinación en los datos hasta ahora. Por ejemplo, si tenemos un cubo con seis bolas (3 Negros y 3 Blancos) en ella y empezar a sacar dos bolas Negras, entonces podemos 'adivinar' con 3/4 posibilidad de que la siguiente bola Blanca; pero nuestro conocimiento no está en el 75% de probabilidades de que nuestra conjetura es correcta, en el 100% de la información que las bolas restantes son WWWB. Contraste esto con la partida tirando de un Negro y un Blanco de pelota; nosotros no podemos adivinar el color de la siguiente bola con cualquier mejor que 50-50 posibilidades, pero todavía tenemos el 100% de los conocimientos que el resto de las bolas se WWBB. Los dos conceptos - ¿qué sabemos acerca de la worldstate y lo que nuestras probabilidades de adivinar una muestra aleatoria son, básicamente son ortogonales uno al otro.

Answer 3

D) las probabilidades de adivinar correctamente son 100% (si B y C coinciden) o 50% (si B y C no coincide). La probabilidad de que B y C coinciden es de 1/3, por lo D la posibilidad de adivinar correctamente es de 2/3.

C) las probabilidades de adivinar correctamente son 2/3 independientemente de la configuración inicial.

Por lo tanto, D tiene la misma probabilidad que C.

Nota: estoy asumiendo que todos los ${4 \choose 2} = 6$ inicial set-ups son equiprobables.

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Explicación Ampliada:

Hay 6 posibles inicial set-ups. Vamos a usar minúsculas para las blancas y MAYÚSCULAS de color negro. Por lo que inicialmente tenemos uno de estos:

abCD aBcD

Tenga en cuenta que sólo en la tercera y sexta posibilidades (en negrita) tienen B y C de coincidencia.

Ahora considere la posibilidad D de la estrategia: si B y C coinciden, supongo que el opuesto (100% de probabilidad de derecho). Si no, supongo que al azar (50% de probabilidad de derecho). De manera que D es la derecha con probabilidad (1)1/3 + (.5)2/3 = 2/3.

Ahora considere C de la estrategia: sólo adivinar el opuesto de B no importa qué. De la tabla anterior (y de tu pregunta), C la probabilidad es 2/3.

Nota: D puede alcanzar los 2/3 de probabilidades de ganar con sólo usar C de la estrategia (que es más sencillo): simplemente adivinar el opuesto de C. Como se puede ver en la tabla anterior, este gana 2/3 del tiempo ya que implícitamente incorpora la negrita de los casos.

Answer 4

Con el objetivo de hacer esta pregunta/respuestas post de auto-contenida, he insertado la imagen de los enlaces de rompecabezas, a continuación, seguido por la solución que se dio en ese enlace.

Cuatro Hombres y un Sombrero

Se muestra arriba, cuatro hombres enterrados hasta el cuello en el suelo. No se puede mover, de modo que sólo pueden mirar hacia adelante. Entre a y B es Un muro de ladrillo que no puede ser visto a través de.

Todos saben que entre ellos están usando cuatro sombreros, dos negros y dos blancos, pero no sé de qué color están usando. Cada uno de ellos saben dónde están los otros tres hombres están enterrados.

Con el fin de evitar ser fusilados, uno de ellos debe llamar a su verdugo el color de su sombrero. Si se equivocan, todo el mundo va a ser fusilados. Ellos no pueden hablar el uno al otro y tienen 10 minutos para asimilarlo.

Después de un minuto, uno de ellos llama.

Pregunta: Que uno de ellos se llama? ¿Por qué está 100% seguro de que el color de su sombrero?

Esta no es una pregunta con trampa. No hay influencias externas ni otras formas de comunicación. Ellos no pueden moverse y son enterrados en una línea recta; A & B sólo pueden ver a sus respectivos lados de la pared, C puede ver B, y D se pueden ver a B Y C.

Spoiler/solución, y ver de Steven respuesta de aclaración

C dice que él está usando un sombrero negro. ¿Por qué está 100% seguro de que el color de su sombrero?
Después de un rato, C llega a la conclusión de que él debe responder. Esto es debido a que D no puede contestar, y tampoco se puede de a o B. D puede ver C y B, pero no puede determinar su propio sombrero de color. B no puede ver a nadie y además no se puede determinar su propio sombrero de color. Una está en la misma situación que en la B, donde él no puede ver a nadie y no puede determinar su propio sombrero de color. Desde a, B, y D, son silenciosos, que deja a los C. C sabe que él está usando un sombrero negro porque si D vio que tanto B y C, que llevaban sombreros blancos, entonces él habría respondido. Pero puesto que D es silenciosa, C sabe que él debe llevar un gorro negro, como se puede ver que B es que llevaba un sombrero blanco.

La certeza del 100% poseída por C es una función de la meta-conocimiento que poseen los hombres. Cada hombre sabe que cada hombre se llevaba 1 de 4 sombreros, 2 de los cuales son de color negro y dos blancos. Cada hombre está en juego la vida, por lo que podemos asumir que cada uno sabe lo suficientemente bien (o figuras) no gritar descuidadamente a "adivinar" el color de su sombrero.

OP reto: Suponga que la distribución dada de los sombreros y las posiciones. Supongamos que sus vidas no están en juego...Que cada uno es simplemente pidió que adivinar el color de su propio sombrero, y le pide que llame su elección de color de forma simultánea en coro con los demás. Entonces podemos determinar la probabilidad de que cualquier hombre ha de adivinar correctamente; como el OP sugiere, C tiene la mayor probabilidad de ser correcta, aunque en este desafío escenario, C no puede ser cierto (ya que él puede aprender nada de el silencio de los demás en esta situación.

Mi conjetura: Si $P(X)$ denota la probabilidad de que X adivina correctamente, entonces $$P(A) = P(B) = P(D) = 1/2 < P(C) = 2/3$$

Nota: por supuesto, esto depende de la distribución de sombreros, como se muestra en la imagen de arriba, por si están distribuidas de tal manera que B y C son cada vistiendo los mismos colores que había, luego D ver esto, y por lo tanto ser capaz de afirmar, con certeza ($P(D) = 1.0$) el color de su propio sombrero.

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Answer 5

C sabe que B es de color blanco. Si él donde el blanco D de llamada Negro. Sin embargo, él no, así que C sabe D es confundir. Por lo que C debe ser de color Negro.