Es $f: \mathcal{P}(\omega) \to \omega \cup \lbrace \omega \rbrace, \ x \mapsto \bigcup \lbrace n \in \omega: n \subset x \rbrace$ surjective?

Question

Introducción: actualmente estoy preparando para un examen y he encontrado esta pregunta en un examen anterior de la misma clase. Se trata de un "simple" pregunta donde usted sólo tiene que escribir la respuesta, sin que la justifican, es decir, no se requieren pruebas, pero me gustaría entender mejor el problema.

Por favor nota: $\omega$ es el conjunto de números naturales' como construido por los axiomas de ZFC. Mi Profesor nos dijo que prefiere esta notación, porque no es posible demostrar que el $\omega = \mathbb{N}$. Así que para este curso pasa a ser: $$\omega = \lbrace 0,1,2,3, \dots \rbrace = \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace, \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace , \dots \rbrace$$

Problema: Considere la función: $$f: \mathcal{P}(\omega) \to \omega \cup \lbrace \omega \rbrace, \ x \mapsto \bigcup \lbrace n \in \omega: n \subset x \rbrace$$ Es $f$ inyectiva, surjective, ambos?

Mi solución: no me sorprende que $f$ no puede ser inyectiva, porque tenemos $\emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \in \mathcal{P}(\omega)$ y por tanto tenemos $$f(\emptyset) = f( \lbrace \emptyset \rbrace)= \emptyset = 0 \text{ but } \emptyset \neq \lbrace \emptyset\rbrace$$ Por lo $f$ no es inyectiva y por lo tanto no bijective. La solución, sin embargo, sugieren que la $f$ tiene que ser surjective y estoy teniendo problemas para entender eso.

Para cada elemento $x$ $$\omega \cup \lbrace \omega \rbrace = \lbrace 0,1,2,3, \dots , \omega \rbrace$$ Quiero encontrar un elemento $y$ $\mathcal{P}(\omega)$ tal que $f(x)=y$. Puedo ver lo que funciona para todas las $n \in \omega$, pero también tengo $\omega \in (\omega \cup \lbrace \omega \rbrace)$ a un mapa y no puedo envolver mi cabeza alrededor de la idea de $$f(?)= \omega$$

Hubiera tenido más sentido para mí decir $f( \omega) = \omega$ pero eso significaría que $\omega \in \omega$ por la definición de $f$ y que está prohibido por el Axioma de regularidad.

Answer 1

Para cada una de las $n\in\omega$ tenemos $n\subseteq\omega$, por lo que

$$f(\omega)=\bigcup\{n\in\omega:n\subseteq\omega\}=\bigcup\omega=\omega\;.$$

Si usted está en duda sobre ese último paso, tenga en cuenta que $x\in\bigcup\omega$ fib hay un $n\in\omega$ tal que $x\in n$, lo cual es cierto iff $x\in\omega$. Nada de lo que aquí se requiere de $\omega$ a ser un elemento de $\omega$, por lo que no hay violación de la regularidad.

Por cierto, no inyectividad también se sigue inmediatamente del hecho de que $|\wp(\omega)|>|\omega\cup\{\omega\}|$.

Answer 2

SUGERENCIA: tenga en cuenta que $f(A)=\sup A$, y que el codominio de $f$$\omega+1$, y no $\omega$ sí.