$\lim_{x\to 0+}=(1/x)^{\sin x}$?

Question

$\lim_{x\to 0+}=(1/x)^{\sin x}$

Creo que debería reescribirlo en forma de $e^{\ln}$, pero no puedo continuar el cálculo después de este paso.

Answer 1

Sugerencia

$$\left(\frac{1}{x}\right)^{\sin(x)}=e^{-\sin(x)\ln(x)}=e^{-\frac{\sin x}{x}\cdot x\ln(x)}.$$

Answer 2

CONSEJO:

$$\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}\right)^{\sin(x)}=$$ $$\lim_{x\to 0}\exp\left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\sin(x)\right)=$$ $$\exp\left(\lim_{x\to 0}\ln\left(\frac{1}{x}\right)\sin(x)\right)=$$ $$\exp\left(\lim_{x\to 0}-\ln(x)\sin(x)\right)=$$ $$\exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{-\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}\right)=$$ $$\exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(-\ln(x)\right)}{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{1}{\sin(x)}}\right)=$$ $$\exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(-\ln(x)\right)}{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\csc(x)}\right)=$$ $$\exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x)}{x\cos(x)}\right)=$$ $$\exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos(x)}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x)}{x}\right)=$$ $$\exp\left(\frac{1}{\cos(0)}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x)}{x}\right)=$$ $$\exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x)}{x}\right)$$

Answer 3

Aquí hay un enfoque que no utiliza ni la Regla de L'Hôpital ni los logaritmos. Más bien, se basa únicamente en desigualdades estándar de geometría junto con el Teorema del Sándwich.

Con ese fin, procedemos recordando que para $x\ge 0$ la función seno satisface las desigualdades

$$x\cos x\le \sin x\le x \tag 1$$

A partir de $(1)$ es fácil mostrar que para $0\le x\le 1$ tenemos

$$x\sqrt{1-x^2} \le \sin x\le x \tag 2$$

Luego, usando $(2)$, tenemos para $0\le x\le 1$

$$\left(\frac1x\right)^{x\sqrt{1-x^2}}\le \left(\frac1x\right)^{\sin x}\le \left(\frac1x\right)^{x} \tag 3$$

Utilizando $\lim_{x\to 0^+}x^x=1$ en $(3)$ junto con el Teorema del Sándwich revela

$$\lim_{x\to 0^+}\left(\frac1x\right)^{\sin x}=1$$