La gráfica de una función continua de un espacio compacto es compacta.

Question

Sé que esta pregunta parece haber sido formulada cientos de veces, pero realmente no veo cómo ninguna de las respuestas existentes aborda mi preocupación, así que espero que tal vez alguien aquí pueda aclarar. Ejercicio 6, capítulo 4 "Principios del análisis matemático" de Rudin

Supongamos que E es compacto, y demostremos que f es continua en E si y sólo si su gráfica es compacta.

Así que, si supongo que $f|X\rightarrow Y$ , entonces el gráfico de $f$ es $G_f=\{x,f(x)|x\in X\}$ . Esto, a su vez, es un subconjunto de $X\times Y$ - ningún problema. Sin embargo, para razonar sobre si $G_f$ es compacto, ¿no tengo que asumir alguna topología en $X\times Y$ ? ¿No sacrifico necesariamente la generalidad al hacer tal suposición?

Entonces, primero, ¿estoy en lo cierto al pensar que asumiendo una topología en $X\times Y$ constituye una pérdida de generalidad, y en segundo lugar, ¿hay alguna manera de abordar este problema sin hacer tal suposición (es decir, utilizando el caso de una topología general, en lugar de una específica como la topología del producto).

Answer 1

Voy a suponer $f: X \to Y$ , $X$ Hausdorff. Entonces el gráfico de $f$ es compacto si $X$ es continua.

$X \times Y$ tiene la topología del producto. Esto es bastante seguro de asumir en general; sólo si se menciona explícitamente lo contrario los productos obtienen la topología del producto.

Debemos asumir $X$ es Hausdorff (por lo que si es metrizable, como suele ser el caso de Rudin, no hay problema), ya que en caso contrario existen contraejemplos: por ejemplo $X$ los enteros en la topología cofinita, $Y = \{0,1\}$ (discreto), $f(2n) = 0, f(2n+1) = 1$ que tiene una gráfica compacta pero no es continua.

Si $X$ es compacto, su gráfico también lo es, ya que la imagen de $X$ bajo el mapa (¡continuo!) $x \to (x, f(x))$ de $X$ en $X \times Y$ (donde $Y$ es el codominio). Esto todavía no necesita la Hausdorffness de $X$ .

Si $G_f = \{ (x, f(x)): x \in X \}$ es compacto, dejemos que $K$ se cerrará en $Y$ . Sea $p$ sea la restricción de la proyección sobre la primera coordenada de $G_f$ en $E$ Así que $p((x, f(x)) = x$ para todos $x \in X$ . Se trata de un mapa continuo y cerrado (como $X$ es Hausdorff). También $X \times K \subset X \times Y$ es cerrado en la topología del producto, por lo que $(X \times K) \cap G_f$ está cerrado en $G_f$ y $f^{-1}[K] = p[(X \times K) \cap G_f ]$ es, por tanto, cerrado en $E$ . Como $K$ era arbitraria, $f$ es continua.