La debilidad de la convergencia y débil estrella de la convergencia.

Question

Si la región de $\Omega$ es limitado y $u_n$ ha débil estrella de la convergencia en $L^\infty ( \Omega)$ algunos $u\in L^\infty(\Omega)$ , implica que el $u_n$ converge débilmente en cualquier $L^p(\Omega) $ ?

Yo creo que lo tengo : Si $sup$ de una función es finito entonces la integral sobre una región acotada es finito con cualquier $p$ norma . ¿es lo correcto ?

Answer 1

$\{u_n\}\subset L^\infty(\Omega)$ converge en la debilidad de la topología de estrella a $u\in L^\infty(\Omega)$ si $$ \lim_{n\to\infty}\int_\Omega u_n\phi\,dx=\int_\Omega u\,\phi\,dx\quad\forall\phi\en L^1(\Omega). $$ Desde $\Omega$ es acotado, $L^\infty(\Omega)\subset L^p(\Omega)\subset L^1(\Omega)$ todos los $p\ge1$. De ello se desprende que $u_n$ converge débilmente a $u$ $L^p(\Omega)$ todos los $p\in[1,\infty)$.