Para dos muestras distribuidas normalmente, hay una manera de poner a prueba para $H_0: \mu_1=\mu_2$ también $\sigma_1^2=\sigma_2^2$. He calculado el cociente de probabilidad, pero no puede reconocer la distribución subyacente.
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Niall
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Usted podría hacer una prueba de razón de verosimilitud. Calcular el MLE para cada conjunto de datos por separado:
$$ L_1 \equiv \max_{\mu_{1}, \sigma_{1}} L_{1}(\mu_{1}, \sigma_{1}) $$
$$ L_2 \equiv \max_{\mu_{2}, \sigma_{2}} L_{2}(\mu_{2}, \sigma_{2}) $$
donde $L_1$ es la función de verosimilitud logarítmica para el primer conjunto de datos y $L_2$ es la función de verosimilitud logarítmica para el segundo. Entonces, si los dos conjuntos de datos son independientes, maximiza la log-verosimilitud para el conjunto de datos completo (es decir, los dos conjuntos de datos juntos) es $L_1 + L_2$. Este es el maximiza la log-verosimilitud cuando los dos conjuntos de datos no se limita a tener la misma media y varianza.
Ahora, para obtener el MLE bajo la restricción de que las dos poblaciones tienen la misma media, se debe calcular
$$ L_{0} = \max_{\mu, \sigma} L(\mu, \sigma) $$
donde $L$ es la función de verosimilitud logarítmica para el conjunto de datos completo. Luego, bajo la hipótesis nula de que usted especifica en tu pregunta,
$$ \lambda = 2 \bigg( (L_1 + L_2) - L_0 \bigg) $$
tiene un aproximado de (es decir, de forma asintótica) $\chi^2$ distribución en 2 grados de libertad, suponiendo que la hipótesis nula siendo probados no se incluyen las $\sigma_1 = \sigma_2 = 0$, lo que claramente no puede ser el caso si usted observa la no-cero de la varianza de los datos. Usted puede utilizar nula distribución de pruebas de significación.
Nota: La articulación MLE para la distribución normal de los datos es la media de la muestra:
$$ \hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $$
y la varianza de la muestra:
$$ \hat{\sigma}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\hat{\mu})^2$$
