En un líquido, ¿por qué los esfuerzos de corte $\tau_{xy}$ $\tau_{yx}$ igual?

Question

En los cuerpos sólidos, $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ tiene sentido para mí, ya que el volumen de los elementos de "mantener juntos" y no se puede girar el uno contra el otro y, por tanto, el par resultante de los esfuerzos de corte tiene que ser cero.

Sin embargo, en los fluidos imagino que los elementos de volumen son capaces de hacer girar el uno contra el otro, y yo estaba muy sorprendido cuando me enteré de que en mi mecánica de fluidos, conferencia que $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ tiene para los líquidos.

Me doy cuenta de que, en este caso un par resultante daría lugar a una aceleración de la velocidad de rotación de los elementos de volumen, pero no puedo ver nada que impide que.

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^{Yo infructuosamente buscado en google en torno a un montón acerca de este problema. También le pedí a mi profesor y varios asistentes, pero ninguno de ellos fue capaz de proporcionar una explicación satisfactoria. Por lo tanto, supongo que mi pregunta en realidad no tiene sentido en este camino y/o se basa en una falta de conocimiento básico.}

Answer 1

Esto se desprende de la invariancia rotacional. Si el tensor de tensiones no es simétrica, entonces el momento angular del fluido no se conserva. Más explícitamente, el impulso de la conservación es la ecuación $$ \frac{\partial}{\partial t}\pi_i + \nabla_j\tau_{ij} = 0 $$ donde $\pi_i=\rho v_i$ es el impulso de la densidad. La densidad de momento angular (sobre el origen) es $l_i=\epsilon_{ijk}x_j\pi_k$ $l_i$ se conserva si $\epsilon_{ijk}\tau_{jk}=0$. Tenemos $$ \frac{\partial}{\partial t}l_i + \nabla_j m_{ij} = 0 $$ donde $m_{ij}=\epsilon_{ikl}x_k\tau_{lj}$ es el momento angular de flujo.

Por supuesto, el momento angular del fluido puede cambiar debido a los pares externos, y el momento angular de un fluido célula puede cambiar debido a la superficie las tensiones. (Es decir, que se puede integrar la ley de la conservación de más de un volumen en el interior del líquido, y el momento angular del fluido de los cambios de volumen debido a la superficie de pares. Por supuesto, el momento angular total del líquido se conserva).

Todo esto se aplica a cualquier fluido que se describe mediante una rotación invariable de Hamilton, que significa que cualquier líquido hecho de átomos, electrones, quarks, gluones, etc.

Una interesante pregunta que surge es si la invariancia rotacional se rompe espontáneamente, por ejemplo, en el caso de un cristal líquido. En ese caso, el momento angular se conserva, y el tensor de tensiones es simétrica, pero la hidrodinámica descripción del fluido (y el tensor de tensiones en sí) dependen de un extra de campo vectorial $n_i$, el cual surge del parámetro de orden.