Parece ser que se sabe que el Teorema de Tychonoff para espacios de Hausdorff y el teorema de Compacidad de primer orden de la lógica son tanto equivalente a más de ZF a la ultrafilter lema. ¿Alguien sabe de una caja de prueba de la implicación "Teorema de Compacidad $\rightarrow$ Tychonoff de Hausdorff espacios" (sin usar el ultrafilter lema como un paso intermedio)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que tenemos una familia de compactos de Hausdorff espacio de $(X_i, \tau_i)$ donde $\tau_i$ es de la topología de la $i$ rangos de más de un conjunto de índices $I$. Suponga que el producto $X = \prod_i X_i$ no es compacto, entonces existe un abierto de la cubierta $(W_\alpha: \alpha < \kappa)$ $X$ que no tiene un número finito de subcover. Podemos definir un lenguaje y una teoría coherente y, a continuación, aplicar el teorema de compacidad para obtener un punto en $X - \bigcup_\alpha W_\alpha$.
W. l.o.g, suponga que cada una de las $W_\alpha = \prod_i W_{\alpha,i}$ $W_{\alpha,i} \in \tau_i$ $spt(W_\alpha) = \{i: W_{\alpha,i} \neq X_i\}$ es finito.
El lenguaje consiste en
- las constantes de $c_i$$i \in I$;
- para cada una de las $i$ y cada una de las $U \in \tau_i$, un predicado unario $P_{i,U}$.
El significado de la $(c_i: i \in I)$ es un (no estándar) punto en $X - \bigcup_\alpha W_\alpha$; y $P_{i,U}(x)$$x \in U$.
La teoría de la $T$ se compone de
- $P_{i,X_i}(c_i)$;
- para cada $\alpha$, $\bigvee_{i \in spt(W_\alpha)} \neg P_{i,W_{\alpha,i}}(c_i)$ (es decir, $(c_i: i \in I) \not\in W_\alpha$);
- para cada finito $F \subset \tau_i$ si $\bigcup_{U \in F} U = X_i$ a continuación, la frase $(\forall x) (P_{i,X_i}(x) \to \bigvee_{U \in F} P_{i,U}(x))$$T$;
- si $C = X_i - U$ es cerrado y $U_0, U_1 \in \tau_i$ s son.t. $U_i \cap C \neq \emptyset$ $U_0 \cap U_1 \cap C = \emptyset$ , entonces la oración $\neg P_{i,U_0}(c_i) \vee \neg P_{i,U_1}(c_i)$$T$.
Por la suposición de que $W_\alpha$'s no tiene un número finito de subcover, $T$ es consistente. Así que toma un modelo de $M$$T$, vamos a $\mathcal{C}_i$ el conjunto de $X_i - U$ s.t. $U \in \tau_i$ $M \models \neg P_{i,U}(c_i)$ . A continuación, $\mathcal{C}_i$ ha finito intersección de la propiedad y por la compacidad $\bigcap \mathcal{C}_i$ no está vacía. El último conjunto de sentencias en $T$, $\bigcap \mathcal{C}_i$ es un singleton $\{p_i\}$ (aquí tenemos Hausdorff-ness). El punto de $(p_i: i \in I)$ no está cubierto por ninguna $W_\alpha$.
