Resolver la simultánea congruencias: $2n + 6m\equiv 2 \pmod{10}$ $n + m\equiv -2 \pmod{10}$

Question

Para resolver la simultánea congruencias $$2n + 6m\equiv 2 \pmod{10}$$ y $$n + m\equiv -2 \pmod{10}$$

He intentado añadir las dos congruencias juntos así que me dieron: $$3n + 7m\equiv 0 \pmod{10}$$ Pero no estoy seguro de si eso es correcto y si es así, ¿qué hacer a continuación para calcular las dos variables independientes. Si la pregunta es como $n\equiv x \pmod y$ , entonces es lo suficientemente simple para calcular

Answer 1

Qué hizo usted fácilmente puede ser justificado por $$ -2n - 6 m \equiv -2 \pmod{10}, $$ que te lleva a la $n + m \equiv -2n -6m \pmod{10}$, que es lo que tenemos. Así $$3n \equiv -7m \equiv 3m \pmod{10}$$ and since $3$ is coprime to $10$, $3$ has a multiplicative inverse mod $10$ and so we can multiply out the $3$ on both sides. So $n \equiv m \pmod{10}$. Puede resolverlo ahora?

En caso de que te interese el inverso multiplicativo de a $3$ en este caso es $7$.

Answer 2

Claramente, 2n+6m=10a+2 y n+m=10b-2, donde a,b son algunos de los números enteros.

Así,n=10b-2-m

Sustituyendo el valor de m en la 1 ª, 2(10b-2-m)+6m=10a+2

O, 4m=10a-20b+6

O, 2m=5a-10b+3

Claramente, debe ser impar=2c+1(decir)

Así,2m=5(2c+1)-10b+3 =>m=5(c-b)+4≡4(mod 5)

n=10b-2-(5(c-b)+4)=5(3b-c)-6≡-1(mod 5)≡4(mod 5)

Answer 3

Resolver sistemas modulares de ecuaciones en su mayoría al igual que lo normal de los sistemas de ecuaciones -- la principal diferencia es que tienes que ser cuidadoso acerca de cosas como la división y raíz cuadrada.

Adivinanzas* cómo se podría resolver el sistema normalmente, voy a decir que lo resolvió la segunda ecuación para $m$ y lo conectó a la primera ecuación. Así, usted tiene

$$ m \equiv -2 - n \pmod{10}$$

y así

$$ 2n + 6m \equiv 2n + 6(-2 - n) = 2n - 12 - 6n = -4n - 12 \pmod{10}$$

y así

$$-4n - 12 \equiv 2 \pmod{10}$$

o

$$-4n \equiv 14 \pmod{10}$$

Normalmente gustaría dividir por $-4$ aquí. Voy a asumir que usted está familiarizado con el algoritmo para encontrar modular de los inversos de los números-por ejemplo, si queremos dividir por $3$, se puede resolver por su inverso y encontrar$3 \cdot 7 \equiv 1 \pmod{10}$, de modo que la multiplicación por $7$ tiene el efecto de dividir a por $3$.

El problema aquí es que el $4$ no es primo relativo a $10$ -- ambos son divisibles por 2. Usted probablemente ha visto que el método para lidiar con este hecho, pero han olvidado, así que voy a repetir aquí. Si usted puede dividir todo por el mcd, luego de hacer eso, y obtener

$$-2n \equiv 7 \pmod 5$$

Si no somos capaces de dividir todo por el mcd (por ejemplo, si el lado derecho fue de 13 en lugar de 14), entonces la ecuación no tiene soluciones.

De todos modos, ahora debería ser capaz de solucionar $-2n \equiv 7 \pmod 5$, y así terminar de resolver el problema.

*: Es generalmente una buena idea para explicar cómo usted piensa acerca de ir sobre un problema, por lo que las respuestas pueden ser adaptados a la forma de pensar. Esto a menudo puede dar mejores resultados que alguien respondiendo con un método orientado hacia cómo se piensa.

Answer 4

A veces un "ingenuo" enfoque puede dar algunas buenas ideas: $$\,\,(1)\,\,2n+6m=2\pmod {10}\Longrightarrow 2n+6m=2+10k\,\,,\,k\in\mathbb Z\Longrightarrow n+3m=1+5k\Longrightarrow$$ $$\Longrightarrow n=1-3m+5k\Longrightarrow n+m=-2\pmod {10}\Longrightarrow \,(2)\,\,n+m=-2+10x\,\,,\,x\in\mathbb Z$$ y substituing tenemos $$1-3m+5k+m=-2+10x\Longrightarrow5k-2m=-3+10x\Longrightarrow 2m=3+5(k-2x)$$ y desde $\,2^{-1}=3\pmod 5\,$ , tenemos $$\,2m=3\pmod 5\Longrightarrow m=4\pmod 5\Longrightarrow n=1-3\cdot 4\pmod 5=4\pmod 5$$ Por lo tanto, $\,n,m\in\{4,9\}\pmod {10}\,$ . Cualquier opción que aquí se va a satisfacer la ecuación (1), sin embargo, la ecuación (2) se requiere que tanto $\,n,m\,$ hare el mismo modulo 10 ,por lo que la solución del sistema es $$\,\{\,(n,m)\;\;:\;\;n=m=4\pmod {10}\,\,or\,\,n=m=9\pmod {10}\,\}$$