Ecuación funcional de divisibilidad: $m^2+f(n)\mid mf(m)+n$

Question

Estoy luchando con el siguiente problema:

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}_{+}\to\mathbb{N}_{+} $ , tal que para todos los enteros positivos $m$ y $n$ , existe la divisibilidad $$m^2+f(n)\mid mf(m)+n\text.$$ $\mathbb{N}_{+}$ representa el conjunto de enteros positivos.

He intentado varias sustituciones pero no sé cómo resolver ecuaciones funcionales de esta forma por lo que no he podido encontrar ninguna $f$ . Creo que es un problema interesante y me gustaría saber la respuesta.

Answer 1

Gracias @lulu por mostrar eso $f(1)=1$ . Ahora puedo terminar el problema demostrando que la identidad es la única posibilidad para $f$ .

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Supongamos que existe $m$ tal que $f(m)<m$ . Entonces, tomando $n=1$ tenemos $$m^2+1=m^2+f(1)\le mf(m)+1<m^2+1\ ,$$ una contradicción. Ahora supongamos que existe $n$ tal que $f(n)>n$ . Tomando $m=1$ tenemos $$1+n<1+f(n)\le f(1)+n=1+n\ ,$$ otra contradicción. Así, $f(n)=n$ para todos $n$ .

Anexo . Prueba de que $f(1)=1$ . Esta prueba fue proporcionada en un comentario de Lulu, la copio textualmente aquí por si el comentario desaparece en el futuro.

Configuración $n=1$ vemos que $m^2+f(1)$ divide $mf(m)+1$ para todos $m$ . Pero si hubiera un primer $p\mid f(1)$ luego tomar $m=p$ da una contradicción, por lo que no existe tal $p$ lo que implica que $f(1)=1$ .