La prueba de una determinada proposición en gavillas sin usar cohomology

Question

Definición Deje $\mathcal F$ ser una gavilla de abelian grupos en un espacio topológico $X$. Podemos decir $\mathcal F$ es cuasi-flasque si se cumple la siguiente condición.

Para cada secuencia exacta de las poleas $0 \rightarrow \mathcal F \rightarrow \mathcal G \rightarrow \mathcal H \rightarrow 0$, $\Gamma(X, \mathcal G) \rightarrow \Gamma(X, \mathcal H)$ es surjective.

La proposición Deje $0 \rightarrow \mathcal F \rightarrow \mathcal G \rightarrow \mathcal H \rightarrow 0$ ser una secuencia exacta de haces de abelian grupos en un espacio topológico. Supongamos $\mathcal F$ $\mathcal H$ son cuasi-flasque. A continuación, $\mathcal G$ es cuasi-flasque,

Mi pregunta Podemos probar la proposición sin necesidad de utilizar cohomology?

Answer 1

Yo creo que sí, pero esto podría simplemente reflejar mi falta de entendimiento de las poleas.

Olvidar la secuencia de comandos, escriba $H = G/F$. Deje $0 \to G \to G' \to G/G' \to 0$ ser una secuencia exacta de las poleas; queremos mostrar a $G'(X) \to (G/G')(X)$ es surjective.

Componer las inyecciones $F \to G \to G'$, podemos formar una secuencia exacta $0 \to F \to G' \to G'/F \to 0$, y desde $F$ es cuasi-flasque, el último mapa es surjective global secciones.

Desde $F$ incluye tanto $G$$G'$, obtenemos una secuencia exacta $0 \to G/F \to G'/F \to (G'/F)/(G/F) \to 0$. Por la suposición de que $H = G/F$ es cuasi-flasque, el último mapa es nuevo surjective global secciones.

Ahora quiero decir $(G'/F)/(G/F) \cong G'/G$. Es cierto que en los tallos, por grupo de teoría, por lo que creo que debe ser cierto ya que el cociente de las poleas son todos sheafifications de todos modos.

Ahora sabemos $G'(X) \to (G'/F)(X)$ $(G'/F)(X) \to (G'/G)(X)$ son surjective, por lo que debe ser hecho.