Función de densidad de probabilidad (pdf) de la normal de la varianza de la muestra ($S^2$)

Question

Necesito saber la fórmula para el pdf de $S^2$.

Sé que esto:

$$ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \>, $$

pero yo quiero estado de la fórmula correcta para el pdf de $S^2$, no $(n-1)S^2/\sigma^2$.

Los pensamientos?

Answer 1

Dado $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \>,$

y el hecho de que una de chi-cuadrado($\nu$) es una Gamma($\frac{\nu}{2},2$), (en la escala de la parametrización), a continuación,

$S^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\cdot \frac{\sigma^2}{(n-1)}\sim \text{Gamma}(\frac{(n-1)}{2},\frac{2\sigma^2}{(n-1)})$

Si usted necesita una prueba, debería ser suficiente para mostrar que la relación entre la chi-cuadrado y gamma variables aleatorias tiene y, a continuación, siga la escala argumento aquí. Esta relación es bastante verificable por la inspección.