Valor de $e$ que $\frac{a+b+c+d+e}{5} = 2 = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2}{5}}$

Question

Tengo cinco números reales $a,b,c,d,e$ y su media aritmética es $2$. También sé que la media aritmética de $a^2, b^2,c^2,d^2$, e $e^2$$4$. Hay un camino por el que puedo demostrar que el rango de $e$ (o UNO de los números) es $[0,16/5]$. Me encontré con este problema en un libro y estoy atrapado en él. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

\begin{align*} &(a - 2)^2 + (b-2)^2 + (c-2)^2 + (d-2)^2 + (e - 2)^2\\[4pt] &= (a^2 + b^2 + c^2 + d^2 +e^2) - 4(a + b + c + d +e) + 20\\[4pt] &= 20 - 4(10) + 20\\[4pt] &= 0\\[10pt] &\;\text{hence}\\[10pt] &\;a = b = c = d = e = 2\\[4pt] \end{align*}

Answer 2

Si tenemos $$ \frac{a+b+c+d+e}{5} = 2 = \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + b^2}{5}} $$ a continuación, todos los cinco números son necesariamente igual a $2$, dictada por la AM-QM desigualdad.

PS. Técnicamente, el poder significa la desigualdad sólo es válida para los números reales positivos, pero si alguno de los números negativos, entonces podríamos cambiar su signo y el aumento de la media aritmética sin cambiar la media cuadrática, y la media cuadrática aún sería mayor. Así que si las dos son iguales, incluso si permitir que para los números negativos, aún así obtener un $a = b = c = d = e = 2$.

Answer 3

Por C-S $$(1^2+1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq(a+b+c+d)^2$$ o

$$4(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq(a+b+c+d)^2$$ o

$$4(20-e^2)\geq(10-e)^2$$ o $$(e-2)^2\leq0$$ o $$e=2.$$

Este método funciona en el caso general.

Dado: $a+b+c+d+e=k$$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=l$.

Encontrar el rango de $e$.