¿Cuál es el valor de $\Gamma(\mathrm{i})$ ?

Question

¿Cuál es el valor de $\Gamma(\mathrm{i})$ ? $\Gamma(z)$ es la función Gamma. Aquí $\mathrm{i}^2=-1$.Me pueden ayudar con este problema ?

Answer 1

Según la Wikipedia el valor es: $\Gamma(i) = (-1+i)! \approx -0.1549 - 0.4980i$.

Ahora, a partir de J. M. comentario sabemos que $|\Gamma(i)|^2 = \frac{\pi}{\sinh \pi}$, pero no creo que $\Gamma(i)$ puede expresarse mediante funciones elementales.

Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function#Imaginary_unit

edit: más identidades (incluyendo la de arriba) se puede encontrar en http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

Answer 2

Así: un método para la computación. La fórmula integral converge para calcular $\Gamma(1+i)$, entonces el funcional de la ecuación nos dará $\Gamma(i)$ a partir de eso. $$ \Gamma(i) = \int_{0}^{\infty} \operatorname{e} ^{-x} \operatorname{pecado} \bigl(\operatorname{log} (x)\bigr) d x - i \int_{0}^{\infty} \operatorname{e} ^{-x} \operatorname{cos} \bigl(\operatorname{log} (x)\bigr) d x $$