$f(x) = x$ cuando x es racional, $f(x) = 0$ cuando x es irracional. Encontrar todos los puntos en los que se $f$ es continua.

Question

Deje $f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ se define como : $f(x) = x$ cuando x es racional, $f(x) = 0$ cuando x es irracional. Encontrar todos los puntos en los que $f$ es continua.

Deje $c \in Q - \{0\}$

$ \exists \langle x_n\rangle$ $R \setminus Q $ tal que

$x_n \to c $

$f(x_n) = 0 \to 0 $

ahora

$ f(c) = c \neq 0$

Por lo tanto, $ f(x_n)$ no converge a $f(c)$

Por lo tanto $f$ es discontinua en a $Q - \{0\}$

Deje $c \in R \setminus Q$

$\exists \langle y_n\rangle$ $Q$ tal que

$y_n \to c$

$f(y_n) = y_n \to c$

ahora $f(c) = 0$ porque $c \in R\setminus Q.$ $\; \;$ también se $c \neq 0$(lo mismo)

por lo tanto, $f$ es discontinua en a $R\setminus Q$

Finalmente, para $c=0$

tenemos

$|f(x) - f(0)| \leq ||x| - 0| \leq |x|$

Por lo tanto $\forall \; \; \epsilon>0 \; \; $$\exists \; \; \delta = \epsilon> 0$ tal que

si $|x|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(x)|<\epsilon$

Por lo tanto, $f$ es continua en a $c=0$, y es el único punto en el que es continua

Es mi prueba correcta ? (especialmente para c=0 parte)

Answer 1

Esta prueba se ve muy bien. El uso de la secuencia de la caracterización de la continuidad para mostrar la discontinuidad en cada punto cero y, a continuación, el $\epsilon-\delta$ caracterización para mostrar la continuidad en el cero es inteligente. Buen trabajo. :)