MCD de dos elementos en $\mathbb Z \left[\frac{1 + \sqrt{-11}}{2}\right]$

Question

Tengo que encontrar a $(3 + \sqrt{-11}, 2 + 4\sqrt{-11})$$\mathbb Z \left[\frac{1 + \sqrt{-11}}{2}\right]$.

Si $\mathbb Z \left[\frac{1 + \sqrt{-11}}{2}\right]$ es un dominio Euclídeo, el algoritmo de euclides debe ser aceptable para calcular el MCD de dos elementos del anillo.

Y aquí está el problema: tratando de dividir a los elementos indicados en algún paso puedo conseguir el resto con la norma más grande que el del divisor. Estoy atascado y no puede encontrar una solución.

Ahora no estoy seguro de si puedo usar el método correctamente. Podría usted por favor me explique cómo hacerlo de la manera correcta o sugerir otro método?

Answer 1

Bien, vamos a ver: $$\frac{3 + \sqrt{-11}}{2 + 4 \sqrt{-11}} = \frac{5 - 11 \sqrt{-11}}{18}.$$ Since $$\frac{5}{18} \approx \frac{1}{2}$$ and $$\frac{-11}{18} \approx -\frac{1}{2}$$ we have $$3 + \sqrt{-11} = (2 + 4 \sqrt{-11})\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-11}}{2}\right) - 20.$$

Sí, eso es un problema. Trate de $$\frac{5 - 11 \sqrt{-11}}{18} \approx \sqrt{-11}$$ instead. Then $3 + \sqrt{-11} = (2 + 4 \sqrt{-11})(\sqrt{-11}) + 47.$ Hmm, incluso peor.

Hay una tercera posibilidad para tratar: $$3 + \sqrt{-11} = (2 + 4 \sqrt{-11})\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-11}}{2}\right) + (-18 + 2 \sqrt{-11}).$$ Que es la peor hasta el momento. Tal vez este no es un dominio Euclídeo, después de todo.

Espera, ¿hemos de comparar las normas para los dos MCD de argumentos de la función antes de hacer otra cosa? En $\mathbb Z$ no necesitamos que preocuparse por eso, el algoritmo termina volteando las necesidades de los mismos. Pero tal vez en este dominio, $\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-11})}$, es esencial. Obviamente $N(2 + 4 \sqrt{-11}) > N(3 + \sqrt{-11})$. Así que, a continuación, tratamos de $$\frac{2 + 4 \sqrt{-11}}{3 + \sqrt{-11}} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{-11}}{2},$$, que es un número entero en este dominio.

Eso significa que $2 + 4 \sqrt{-11}$ es divisible por $3 + \sqrt{-11}$, sorpresa, eh!? De hecho, $N(2 + 4 \sqrt{-11}) = 180$$N(3 + \sqrt{-11}) = 20$. Por lo $$2 + 4 \sqrt{-11} = (3 + \sqrt{-11}) \left(\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{-11}}{2}\right) + 0.$$ El algoritmo funciona.