La dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor

Question

Sé que esto es probablemente una pregunta fácil, pero algunos de los pasos en las pruebas que he encontrado en casi todas partes que figuran algunas de las partes o en los supuestos que creo que puede no ser trivial, así que me gustaría hacer es riguroso y lo suficientemente claro. Aquí está la pregunta:

Deje $C$ ser el conjunto de Cantor con eliminar el tercio medio del intervalo y seguir. El general de Cantor puede ser considerado del mismo modo. Queremos a prueba la dimensión de Hausdorff de $C$$\alpha:=\log2/\log3$. Así que calcular el $d$-dimensional medida de Hausdorff $H^d(C)$ todos los $d$ para determinar la dimensión de Hausdorff. Deje $C(k)$ ser la colección de $2^k$ con un intervalo de longitud de $1/3^k$ $k^{th}$- paso de la construcción del conjunto de Cantor.

Es bastante fácil demostrar que $H^{\alpha}(C)<\infty$ mostrando que para cualquier cubriendo $\{E_j\}_{j=1}^{\infty}$ $C$ el conjunto $C(k)$ también cubre $C$ $k$ lo suficientemente grande, por lo que podemos enlazado $H^{\alpha}(C)$ desde arriba. Lo que implica que la dimensión de Hausdorff de $C$ es de menos de $\alpha$.

Para mostrar la dimensión de la realidad es igual a $\alpha$, es suficiente para mostrar $H^{\alpha}(C)>0$.

Ahora vamos a $\{E_j\}_{j=1}^{\infty}$ ser cualquier cobertura de $C$ con diámetro de $diam(E_j)\le \delta$ todos los $j$. ¿Cómo podemos mostrar que $$\sum_j diam(E_j)^{\alpha}>constant$$

Uno de los autores (ver este enlace) hizo la siguiente suposición: $E_j$ ser abierto, por lo que uno puede encontrar el número de Lebesgue de esta cubierta, y al $k$ lo suficientemente grande, en cualquier intervalo en $C(k)$ estará contenido en $E_j$ algunos $j$. Por lo tanto, uno puede enlazado el $\sum_j diam(E_j)^{\alpha}$, desde abajo, por los de $C(k)$.

Me confundí aquí: en Primer lugar por qué podemos asumir $E_j$ a estar abierto?

Answer 1

Me pueden elaborar abit por qué es suficiente para mostrar que para los que están abiertos. Puede ser que este no es exactamente lo que el autor iba después. Si lo desea, también puede continuar esta respuesta en una prueba que demuestra que $H^{\alpha}(C)\geq \frac{1}{2}$.

Elegir para empezar a $\delta$-cubierta $\{E_{j}\}_{j=1}^{\infty}$$C$$\sum_{j=1}^{\infty}\mathrm{diam}(E_{j})^{\alpha}\leq H^{\alpha}(C)+\delta$. A continuación, para cada una de las $j$, se puede elegir un intervalo cerrado $I_{j}$$E_{j}\subset \mathrm{int}I_{j}$$\mathrm{diam}(I_{j})<(1+\alpha)\mathrm{diam}(E_{j})$. Por lo tanto $\{\mathrm{int}I_{j}\}_{j=1}^{\infty}$ es una cubierta abierta de a $C$, y, en particular, \begin{align*} H^{\alpha}(C)+\delta\geq \sum_{j=1}^{\infty}\mathrm{diam}(E_{j})^{\alpha}\geq (1+\delta)^{-\alpha}\sum_{j=1}^{\infty}\mathrm{diam}(I_{j})^{\alpha}. \end{align*} Por lo tanto, para establecer un límite inferior para $H^{\alpha}(C)$ es suficiente para establecer un límite inferior para $\sum_{j=1}^{\infty}\mathrm{diam}(I_{j})^{\alpha}$. (Usted puede considerar el $\mathrm{int}(I_{j})$'s, que están abiertos, ya que su diámetro es el mismo que $I_{j}$'s.)