Deje $X$ ser un algebraica proyectiva variedad con acíclicos estructura de la gavilla, podemos encontrar un conjunto abierto $U\subset X$, que es el complemento de un divisor, que $\mathcal{O}_U$ no es un acíclicos gavilla?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongo que esto no acaba de responder a su pregunta, desde que suena como quieras, siempre será capaz de encontrar un conjunto abierto. Podría ser de interés, no obstante.
La siguiente es una "trampa" ejemplo, por dos razones:
- $X \smallsetminus U$ no es irreductible; y
- $X \smallsetminus U$ está obligado a ser un divisor por una explosión.
Considere la posibilidad de $\mathbf{P}^2$ con coordenadas $x,y,z$, vamos $$X = \operatorname{Bl}_{[0:0:1]}\mathbf{P}^2.$$ Este es proyectiva con acíclicos estructura de la gavilla por [Hartshorne, Ch. V, Prop. 3.4]. Ahora considere el divisor $D = E + \ell$ donde $E$ es el divisor excepcional y $\ell$ es la estricta transformar de una línea de $\{z = 0\}$. A continuación, $$U = X \smallsetminus D \simeq \mathbf{A}^2 \smallsetminus \{0\}$$ es tal que $\mathcal{O}_U$ no es acíclicos por [Hartshorne, Ch. III, Exc. 4.3].
Más en general, vamos a $Z$ ser afín a la variedad y de la $Y$ una subvariedad cerrada (no necesariamente irreducible) de codimension $>1$. Una respuesta por David Speyer muestra que $U = Z \smallsetminus Y$ no tiene acíclicos estructura de la gavilla. Si $Z$ tiene un proyectiva compactification $\widetilde{Z}$ con acíclicos estructura de la gavilla, entonces el complemento de $\widetilde{Z} \smallsetminus Z$ puede convertirse en un divisor por un estallido sin cambiar el acyclicity de la estructura de la gavilla por [Chatzistamatiou–Rülling, Thm. 1.1], dando el ejemplo que usted desea.
No sé un ejemplo en el que dos "trampa" trucos no son utilizados.
