La solución de $\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^2}$

Question

He estado tratando de resolver esto una y otra vez sin L'Hôpital pero sigue fallando:

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^2}$$

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Mi primer intento de la racionalización de los involucrados:

$$\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^2} \cdot \frac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\sqrt{\cos x}} = \frac{1-\cos x}{x\cdot x \cdot (1+\sqrt{\cos x})}$$

El uso de la regla de $\frac{1-\cos x}{x} = 0$ $x\to0$ es inútil porque acabaríamos con

$$\frac{0}{0\cdot x \cdot \sqrt{\cos x}} = \frac{0}{0}$$

Pero bueno, tal vez podamos racionalizar de nuevo?

$$\frac{1-\cos x}{(x^2+x^2\sqrt{\cos x})}\cdot \frac{(x^2-x^2\sqrt{\cos x})}{(x^2-x^2\sqrt{\cos x})}$$

Resultando en

$$\frac{(1-\cos x)(x^2-x^2\sqrt{\cos x})}{x^4 - x^4\cdot\cos x} = \frac{(1-\cos x)(x^2-x^2\sqrt{\cos x})}{x^4 \cdot (1-\cos x)}$$

La cancelación de

$$\frac{(x^2-x^2\sqrt{\cos x})}{x^4} = \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^2}$$

Así que fue muy gracioso. Terminé en el principio! Maldita sea.

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Mi segundo intento fue el uso de la definición de $\cos x = 1 - 2\sin \frac{x}{2}$:

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^2} = \frac{1-\sqrt{1 - 2\sin \frac{x}{2}}}{x^2}$$

Y, a continuación, racionalizar

$$\frac{1-\sqrt{1 - 2\sin \frac{x}{2}}}{x^2} \cdot \frac{1+\sqrt{1 - 2\sin \frac{x}{2}}}{1+\sqrt{1 - 2\sin \frac{x}{2}}}$$

$$\frac{1-(1 - 2\sin \frac{x}{2})}{x^2+x^2\sqrt{1 - \sin \frac{x}{2}}} = \frac{- 2\sin \frac{x}{2}}{x^2\left(1+\sqrt{1 - \sin \frac{x}{2}}\right)}$$

Quiero hacer uso del hecho de que $\frac{\sin x}{x} = 1$$x\to0$, así que voy a multiplicar el numerador y el denominador con $\frac{1}{2}$:

$$\frac{-\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}\cdot x\left(1+\sqrt{1 - \sin \frac{x}{2}}\right)}$$

Entonces

$$\frac{-1}{x\left(1+\sqrt{1 - \sin \frac{x}{2}}\right)}$$

Bien claramente que no va a funcionar bien. Yo todavía conseguirá $0$ en el denominador.

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La respuesta correcta es $\frac{1}{4}$. Puedo ver por qué es el numerador $1$, pero ni idea de donde es ese $4$ va a salir de.

No sé cómo se supone que voy a resolver esto sin L'Hôpital.

Answer 1

Se supone que para utilizar el límite $$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12. $$ Este debe ser conocido a usted tan pronto como usted sabe que $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1.$$

Answer 2

SUGERENCIA: $$\frac{1-\sqrt{\cos(x)}}{x^2}=\frac{1-\cos(x)}{x^2(1+\sqrt{\cos(x)})}=\frac{1-\cos(x)^2}{x^2(1+\sqrt{\cos(x)})(1+\cos(x))}$$

Answer 3

Después de su primer racionalización, se demostró que la expresión original es equivalente a

$$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2(1+\sqrt{\cos x})}=\lim_{x \to 0}\color{green}{\frac{1-\cos x}{x^2}} \cdot \color{blue}{\frac {1}{1+\sqrt{\cos x}}}$$

Puesto que el $\color{green}{\text{green}}$ parte del límite converge a $\frac 12$ (es un notable límite) y el $\color{blue}{\text{blue}}$ color función de $x$ es continua en un barrio de $0$, podemos concluir que el límite existe y su valor es

$$ \lim_{x \to 0} \frac12 \cdot \frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}= \frac 12 \cdot \frac{1}{1+\sqrt{\cos(0)}}=\frac 12 \cdot \frac12= \color{red}{\frac14}$$

Nota: en caso de que usted no sabe la mencionada notable límite, aquí hay una rápida prueba de ello con el hecho de que $\lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x}=1$ :

$$ \lim_{x\to 0} \frac{1- \cos x}{x^2}$$ $$ = \lim_{x\to 0} \frac{1- \cos x}{x^2} \cdot \color{red}{\frac{1+ \cos x}{1+\cos x}}$$ $$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos x}= \frac 12$$

Answer 4

Puede ser que usted puede utilizar el hecho de que $$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+o(x)$$ and $$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$ por lo Tanto $$...=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{4x^2}=\frac{1}{4}$$

Answer 5

Si L'Hopitals' Regla de da $\frac{f'}{g'}\rightarrow\frac{0}{0}$, aplicar la Regla de L'Hospital. :-)

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\sqrt{cos(x)}}{x^{2}} $$

$$f"(x)=-\frac{1}{2}\sqrt{cos(x)}-\frac{pecado^{2}(x)}{4cos^{\frac{3}{2}}(x)} $$

$$\frac{f"(x)}{g"(x)}\rightarrow-\frac{1}{4} $$