Tengo una pregunta acerca de álgebras de cuaterniones. Deje $K$ ser un campo de número y $L|K$ una ecuación cuadrática de extensión de campo. Deje $M|K$ ser un campo de extensión tal que $M\otimes_K L$, no es un campo, es decir,$M\otimes_K L \cong M\oplus M$. Ahora me considere una central de simple álgebra $\mathcal{D}$$L$, es decir, el centro de $\mathcal{D}$$L$. Si es necesario, podemos limitarnos al caso de $\mathcal{D}$ ser un álgebra de cuaterniones $L$. Es cierto en general que $A:=\mathcal{D}\otimes _K M$ es una suma directa de dos isomorfo central simple álgebras de más de $M$ y si es así, ¿por qué es eso cierto?
Ciertamente tenemos $Z(A) \cong Z(\mathcal{D}) \otimes_K M \cong M\oplus M$ (donde $Z(\phantom{x})$ denota el centro) y que $A$ es semisimple $M$-álgebra. Así que por el teorema de Wedderburn es una suma directa de dos de la matriz de los anillos en el centro de $M$-división de álgebras de $D_1$$D_2$. I. e. $A\cong D_1 ^{n_1\times n_1}\oplus D_2^{n_2\times n_2}$. Es cierto que $D_1\cong D_2$$n_1=n_2$?
Me encontré con este problema de una manera mucho más específica, pero mi instinto me dice que el reclamado afirmación puede ser cierta en el contexto proporcionado aquí...
