Integral de la solución autosimilar de Sedov al problema de la onda expansiva esférica

Question

Estoy estudiando la solución autosimilar de Taylor-Sedov para el problema de una explosión fuerte en una atmósfera homogénea. El problema se discute en Landau & Lifschitz VI (en la 2ª edición es el §106). En estas notas hay una reproducción de la derivación de Landau, que resuelve analíticamente el problema (creo que la solución original se debe a Sedov).

En pocas palabras ( $R$ es el radio del choque, $r$ es la coordenada radial, las cantidades con $_0$ son las cantidades no perturbadas delante del choque).

La última integral es derivada por Landau y en las notas anteriores por consideraciones energéticas (es decir, exigiendo que la energía dentro de un radio $\eta R$ con $\eta \in (0,1)$ permanece constante en el tiempo).

Ahora, los EDOs anteriores para $f,\phi,\psi$ fueron resueltos numéricamente por G.I. Taylor en 1941. Véase aquí . Estoy comparando la solución analítica con la solución numérica de Taylor, y mirando la tabla de valores en la página 164, me di cuenta de que la integral anterior, está lejos de conservarse. La identidad se satisface en $\eta = 1$ pero para $\eta = 0.5$ la diferencia entre el LHS y el RHS es de aproximadamente $62$ ¡!

Estoy confundido: ¿es la integral anterior una restricción adicional, derivada de consideraciones físicas, que permite resolver analíticamente las ecuaciones del movimiento? Creo que no es así, la solución a este problema debe ser única y por lo tanto tiene que satisfacer la relación.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

---

Para mayor claridad, en el libro de Landau la adimensionalización se hace de manera muy diferente: $$u=\dfrac{2r}{5t}V=U\cdot V,\quad \rho = \rho _0 G,\quad c^2=\gamma\dfrac {p}{\rho}=\dfrac{4r^2}{25t^2}Z=U^2Z, $$ y la integral se escribe como: $$Z=\dfrac{\gamma(\gamma-1)(1-V)V^2}{2(\gamma V-1)}.$$ Volviendo a las variables de Taylor, uno encuentra: $$V=\phi,\quad G=\psi,\quad Z=f/\psi$$ y así la relación anterior.

---

ACTUALIZACIÓN

Había cometido un error tonto en la conversión de $Z,V,G$ a $\phi, f,\psi$ coordenadas. Las relaciones correctas son: $$\eta ^2 Z = f/\psi,\qquad\eta V = \phi.$$ Con estas sustituciones, la integral se lee: $$f=\dfrac{\gamma(\gamma-1)}{2}\dfrac{\eta-\phi}{\gamma \phi -\eta}\phi ^2 \psi$$ y se conserva perfectamente a lo largo de mi solución numérica.

Answer 1

En la página 38 de las notas de la conferencia, el autor dice,

Como la energía es independiente del tiempo, la integral de superficie debe ser cero. Los términos del integrando son independientes del ángulo y, por tanto, el propio integrando debe ser cero

donde la integral en cuestión se encuentra en la página 37, $$ \int_\Omega\left[\rho V\left(\frac12V^2+h\right)-\left(\varepsilon+\frac12\rho V^2\right)\frac{dr}{dt}\right]r^2d\Omega $$ Luego, en la página 41

Como tenemos la primera integral de las ecuaciones, el número de ecuaciones independientes independientes se reduce de tres a dos.

Así que el energía integral introduce una restricción basada en el hecho de que la energía se conserva. De ahí la reducción de 3 a 2 ecuaciones.

Zel'dovich afirma

Utilizando un método brillante, que empleaba la integral de energía, Sedov consiguió encontrar una solución analítica exacta a las ecuaciones del movimiento autosimilar.

lo que refuerza el punto de que se hizo para encontrar la solución analítica.

Obviamente las dos soluciones deben coincidir en $\eta=1$ porque es una condición de contorno. A menos de eso, no estoy convencido de la relación, $$ Z=\frac{\gamma(\gamma-1)}{2}\frac{V^2(1-V)}{\gamma V-1} $$ se satisface. Obsérvese que como $\eta\to0$ , $V\to0$ . Cuando $V\to0$ la RHS de arriba se vuelve negativa (ocurre en $\eta=0.92$ utilizando la tabla de Taylor). Dado que $Z$ representa la relación entre la presión y la densidad, ambas no negativas, no veo cómo esta condición puede ser válida para $\eta\neq1$ .

Ambos conjuntos de soluciones son válidos con cierto grado de precisión. Frank Timmes junto con James Kamm, volvió a resolver el problema de Sedov (para sistemas de coordenadas genéricos (dimensión $j$ ) y con un perfil ambiental externo genérico, $\rho(r)=\rho_0r^{-\omega}$ ) y obtiene cifras similares a las de Sedov para el $j=2,\,\omega=0$ caso (fuera en el 3er o 4to lugar decimal en algunos lugares, ver el documento de Kamm, Bolstead (RIP), & Timmes en el enlace anterior).
Taylor, por su parte, utilizó un solucionador aproximado para la EDO. Aquí es donde radica cualquier diferencia entre ambos: métodos numéricos frente a solución analítica. He representado las tres soluciones (Taylor, Timmes y Sedov) para la densidad (a escala del pico) para el $j=2,\,\gamma=1.4$ caso, por lo que se puede ver la menor divergencia

El hecho de que $f(\eta)/\psi(\eta)$ no coincide con el RHS de $\eta<1$ no significa que la solución sea equivocado sólo significa que la relación sólo es válida para $\eta=1$ .