Probar que lim como como $n \to \infty \int_{[-n,n]}{f} = \int_{\mathbb{R}}f$

Question

Demostrar que $$\lim_{n \to \infty} \int_{[-n,n]}{f} = \int_{\mathbb{R}}f.$$

Se nos ha dado $f$ medible no negativa de la función en $\mathbb{R}$.

Hasta ahora tengo:

Deje $f_n = 1_{[-n,n]}f$ $\{f_n\}$ es no negativa y monotono y $ f \to f_n$ pointwise.

Por el MCT, $$\lim_{n \to \infty} \int_{[-n,n]}{f} = \lim_{n \to \infty} \int_{[-n,n]}{f_n} = \lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}}{f} = \int_{\mathbb{R}}{f}.$$

Esto es correcto? Estoy un poco preocupado acerca de mi última línea

Answer 1

Lo que estamos haciendo es básicamente correcto, pero no está escrito correctamente.

Usted tiene que $f_n\nearrow f$ (es esencial que la convergencia es monótona).

Entonces $$ \lim_n\int_{[-n,n]}f=\lim_n\int_{\mathbb R} f_n=\int_{\mathbb R}\lim_n f_n =\int_{\mathbb R}f, $$ donde la Monotonía Teorema de Convergencia se utiliza en la segunda igualdad.

Answer 2

Usted tiene la idea correcta. Asegúrese de demostrar que $f_n$ es una secuencia de funciones medibles, y como @MartinArgerami dice, demuestra que usted tiene un pointwise aumento de la secuencia de funciones.

Yo diría que la última línea de la siguiente manera:

$$\lim_{n\to\infty} \int_{[-n,n]} f dm = \lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}} f_n dm = \int_{\mathbb{R}} \lim_{n\to\infty} f_n dm = \int_{\mathbb{R}} f dm,$ $ , donde el intercambio de los límites de la siguiente manera a partir de la MCT.