Hay una familia de superficies ortogonales al vector campo $\vec v \in \mathbb R^3$ fib $\vec v \cdot \operatorname{curl} \vec v = 0 $. Ahora la necesidad parte es trivial, pero la prueba de suficiencia que he visto en libros de texto de física, por ejemplo, Kestin: la Termodinámica, es una especie de descerebrados integración similar a la que normalmente se ofrecen para probar de Poincaré del lexema como en Flandes, o simplemente afirmó como en el Born&Wolf: Óptica. Hay una intuitiva y geométrica de la interpretación de esta condición que haría evidente el por qué de su suficiencia debe ser verdadera?
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Este es el Frobenius integrabilidad condición.
Considerar el doble de un formulario de $\alpha$. Luego de su declaración de $\mathbf{v} \cdot \operatorname{curl}{\mathbf{v}} = 0$ es equivalente a $\alpha \wedge d\alpha = 0$.
Observe que, en cada punto de $p$, el plano definido por $\ker \alpha_p$ es el plano ortogonal a $\mathbf{v}_p$.
Voy a aproximadamente un bosquejo de la prueba de este teorema en el caso tridimensional a continuación. Tal vez se puede interpretar el desordenado prueba en su libro de texto en el marco sugiero (probablemente esencialmente la forma en que lo hizo). El pleno de la prueba, en dimensión arbitraria, es accesible si usted sabe que una cantidad decente de topología diferencial, y supone menos de cálculo.
Para aclarar el frobenius condición de integrabilidad:
Dado un varían suavemente a la familia de planos en cada punto en 3D, a considerar, a nivel local, cualquier forma de $\alpha$ de manera tal que estos aviones están dadas por $\ker \alpha$ (equivalentemente, considere la posibilidad de un campo de vectores ortogonales $\mathbf{v}$ y tome su doble de un formulario).
Entonces la familia de planos es integrable, es decir, existe una familia de superficies con esos aviones como su tangente a los planos, si y sólo si $\alpha \wedge d\alpha = 0$.
Boceto:
Una prueba de ello es, en esencia, que puede "integrar" a los aviones, proyectando en alguna dirección, dibujo de una curva, y la "elevación" de nuevo por lo que se mantiene tangente a los planos (esto se convierte, en las coordenadas, la solución de una ecuación diferencial ordinaria, es decir, la "integración"). Si usted dibujar varias curvas con los mismos puntos de inicio y finalización, o, equivalentemente, ir alrededor de un bucle, usted necesita demostrar que usted termina en el mismo lugar (es decir, te has quedado en la superficie en su familia de superficies). Esto es como una curvatura de la condición, y los dos forman $d\alpha$ ayuda a medir la discrepancia entre el levante en el inicio y el final del bucle, como la curvatura.
La condición de $\alpha \wedge d\alpha = 0$ implica que el $d\alpha$ es cero en los dos planos, es decir, los granos de $\alpha$ (es decir, "no hay rizo en los planos ortogonales a $\mathbf{v}$"). Esto implica entonces que esta discrepancia he descrito en el párrafo anterior, procedentes de $d\alpha$, es en el hecho de cero.
Otra vista de la necesidad, citando el teorema de Darboux en contacto con la geometría:
Usted puede utilizar Stokes teorema para obtener necesidad. He aquí otro punto de vista, el análisis de lo que sucede cuando $\alpha \wedge d\alpha \neq 0$.
Si $\alpha_p \wedge d\alpha_p \neq 0$ esto es cierto en el barrio de $p$, es decir, una bola abierta en torno a $p$. Sin pérdida de generalidad, supongamos que esto es positivo, es decir, un múltiple positivo de la norma en forma de volumen $dvol = dx \wedge dy \wedge dz$ (de lo contrario cambiar su $x$ $y$ coordenadas).
Este es el contacto de la condición en 3D. En este caso, en este open de bola alrededor de $p$, el formulario de $\alpha$ define un contacto con la estructura dada por los planos ortogonales a $\mathbf{v}$, equivalente a los planos dados por $\ker \alpha$.
Hay un teorema, debido a Darboux que establece que todas las estructuras de contacto son localmente equivalente. Es decir, existe un cambio de coordenadas cerca de $p$, lo que hace de este local de los contactos estándar de la estructura, que es la colección de los planos dados por los núcleos de $\alpha = dz + x\, dy$.
Suponiendo que el teorema de Darboux, vamos a seguir adelante y demostrar que esto no es integrable:
La página de wikipedia de contacto de la estructura tiene una buena foto de la norma en tres dimensiones en contacto con la estructura. El caso del contacto es a veces llamado el máximo no integrable caso. Se ve bastante no integrable, pero ¿cómo podemos demostrarlo?
Reclamo: Esta norma de contacto de la estructura no es integrable, es decir, no puede ser "integrado" en una colección de superficies.
Hay varias pruebas. Aquí es simple: Demostrar que dados dos puntos cualesquiera $p$$q$, hay una curva de $\gamma(t)$ tangente a los planos (lo que es equivalente, para que $\alpha(\gamma_*(dt)) = 0$ es idéntica a cero) que conecta a estos dos. Esto se llama un legendrian curva.
(La situación es bastante flexible y hay muchas curvas entre cualquiera de las $p$$q$.)
Esto implica entonces que no puede ser integrable, ya que tales curvas tendría que quedarse en una superficie en la familia.
He aquí una sugerencia sobre una forma de hacer esto: Considerar el formulario de contacto estándar $\alpha = dz + xdy$. Proyecto para la $x-y$ plano. Para averiguar cómo "levantar" un dibujo de una curva en este plano en 3D, aviso que para $\alpha$ a ser cero, simplemente tenemos $dz/dy = -x$. Esto le permitirá dibujar muchas de esas curvas entre cualquier par de puntos de $p$$q$.
Aviso que esto es más o menos lo contrario de lo que he mencionado anteriormente en el boceto de la prueba de la Frobenius teorema de integrabilidad.
Voy a notar, finalmente, que en dimensiones mayores que 3 hay situaciones entre la condición de contacto (a veces también llamado "máximo no integrable") y el frobenius condición de integrabilidad ("integrable", es decir, existe una familia de superficies en la que se especifica la tangente a los planos).
He aquí una más básica de la respuesta, que no implica formas diferenciales, tratando de llegar a la intuición más:
La condición de $\mathbf{v} \cdot \operatorname{curl}(\mathbf{v})$ es esencialmente indica que $\mathbf{v}$ no tiene ningún rizo en los planos ortogonales a $\mathbf{v}$.
¿Qué significa para restringir el rizo a un avión? Bueno, parametrizar el avión por $r(s,t)$. Luego tenemos a $r_s \times r_t$ es normal al plano.
Resulta que $(\operatorname{curl}{\mathbf{v}}) \cdot (r_s \times r_t) = \frac{d}{ds} (\mathbf{v}\cdot r_t) - \frac{d}{dt} (\mathbf{v}\cdot r_s)$. Este es precisamente el escalar de dos dimensiones de la curvatura del campo de vectores $(\mathbf{v}\cdot r_s,\mathbf{v}\cdot r_t)$, que es lo que se muestra en las dos dimensiones del teorema de Stokes. (De hecho, usted puede utilizar este hecho para deducir Verde del teorema de la 2D del teorema de Stokes.)
Así que este producto escalar de a $\mathbf{v}$ $\operatorname{curl}{\mathbf{v}}$ cero representa el hecho de que $\mathbf{v}$ no tiene ningún rizo en sus planos ortogonales.
Ahora, si la escala de $\mathbf{v}$ a través de una función, la declaración de $\mathbf{v} \cdot \operatorname{curl}{\mathbf{v}} = 0$ es invariable. Por qué? Intuitivamente, esto es decir que no hay rizo en planos ortogonales, y la ampliación de $\mathbf{v}$ escalas de la curvatura, pero de lo contrario, sólo se agrega la curvatura en las direcciones perpendiculares a $\mathbf{v}$, es decir, en los planos no ortogonales a $\mathbf{v}$.
Considere algunas de función $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R_+}$, alguna función a la escala, y considerar la posibilidad de una nueva escalada, campo de vectores $f\mathbf{v}$.
A continuación,$\operatorname{curl}(f\mathbf{v}) = \operatorname{grad}(f) \times \mathbf{v} + f \operatorname{curl}(\mathbf{v})$. Por lo tanto $$(f\mathbf{v})\cdot\operatorname{curl} (f\mathbf{v}) = (f\mathbf{v}) \cdot \operatorname{grad}(f) \times \mathbf{v} + (f\mathbf{v}) \cdot f \operatorname{curl}(\mathbf{v}) = f^2 (\mathbf{v} \cdot \operatorname{curl}{\mathbf{v}})$$
[Un método alternativo en este punto: Demostrar que si $\mathbf{v}\cdot \operatorname{curl}{\mathbf{v}} = 0$, a continuación, hay algunos $f$ tal que $\operatorname{curl}(f\mathbf{v}) = 0$. A continuación, el campo de vectores $f\mathbf{v}$ es conservadora y que pueden ser integrados como $\operatorname{grad}(h)$ para algunos la función $h$. A continuación, los conjuntos de nivel de $h$ son sus superficies.]
Ahora aquí es la idea de la prueba:
Supongamos que en algún punto, $\mathbf{v} \cdot \hat{\mathbf{z}}$ es distinto de cero (cosa cambia tu coordinar los nombres así que esto es cierto). Esto es cierto en algunas conjunto abierto cerca del punto de continuidad.
Escala de $\mathbf{v}$ tal que $\mathbf{v} \cdot \hat{\mathbf{z}} = 1$ sobre toda una región cerca del punto. Este nuevo campo vectorial todavía cumple la condición, por parte de la sección anterior. Así, la notación es simple, vamos a seguir llamando a esta versión a escala $\mathbf{v}$.
Ahora, dada una curva de $(x(t),y(t))$ $x-y$ plano y a la partida $z$$z(0)$, resolver por $z(t)$ tal que $(x(t),y(t),z(t)) \cdot \mathbf{v} = 0$. (Esto es sólo una ODA a $z(t)$, y siempre tienen solución, dada la condición inicial $z(0)$.) Llame a la curva resultante $c(t) = (x(t),y(t),z(t))$.
Nos gustaría que estas curvas para llenar la familia de las superficies en que estamos interesados. Por ejemplo, hacer esto con todas las curvas en el $x-y$ plano paralelo a la $x$-eje y, de nuevo, con todas las curvas en el $x-y$ plano paralelo a la $y$-eje. Estos se deben coordinar las líneas en sus superficies.
¿Qué podría salir mal? Tal vez estas líneas no se reúnen cuando usted va en torno a una plaza. De hecho, esta es la única cosa que podría ir mal. ¿Cómo se demuestra esto no ocurrirá si $\mathbf{v} \cdot \operatorname{curl}{\mathbf{v}} = 0$?
La idea básica es que la falta de rizo en los planos ortogonales a $\mathbf{v}$ significa que una curva cerrada, yendo alrededor de un bucle, no se puede "girar" para un final diferente $z$ en valor, debido a esta falta de rizos.
He aquí el argumento:
El trabajo por la contradicción. Supongo que eso suceda. A continuación, vamos a tener una plaza que, cuando vamos alrededor de la plaza como de nuestra curva en el $x-y$ plano, el final de la $z$ $z(T)$ cuando volvemos a donde empezamos no coincide con la partida $z(0)$.
Acabar con la curva de $c(t) = (x(t),y(t),z(t))$ tener que ir completamente vertical para cerrar (es decir, entre el final y el inicial de los valores z).
Entonces la integral de línea de $\mathbf{v}$ a lo largo de $c$ es, precisamente, $z(0) - z(T)$ porque la única contribución de la parte vertical (ya que de lo contrario $c$ es ortogonal a $\mathbf{v}$) y no tenemos $\mathbf{v} \cdot \hat{\mathbf{z}} = 1$.
Pero resulta que esto es una contradicción. Debemos ser capaces de utilizar Stokes teorema para demostrar que la integral alrededor de este bucle cerrado es cero, el uso de $\mathbf{v} \cdot \operatorname{curl}{\mathbf{v}} = 0$. (En realidad, el programa de instalación de aquí no está muy bien para probar esto. Yo estaba tratando de traducir de cómo funciona todo esto para campos vectoriales y hacerlo sin cambiar las coordenadas, sólo escalado $\mathbf{v}$. No creo que haya bastante tiene el derecho de configuración para la prueba. La intuición menciono es básicamente correcto. Voy a dejar por ahora.)
En cualquier caso, esperemos que esto tiene algo de intuición en aquí. Por favor, pregunte si todos los sonidos griego.
