$a,b$ ser de dos enteros positivos , donde $b>2 $ , entonces es posible que $2^b-1 \mid 2^a+1$?

Question

Si $a,b$ ser de dos enteros positivos , donde $b>2 $ , entonces es posible que $2^b-1\mid2^a+1$ ? He descubierto que si $2^b-1\mid 2^a+1$,$2^b-1\mid 2^{2a}-1$ , lo $b\mid2a$ también $a >b$ ; pero nada más. Por favor, ayudar. Gracias de antemano

Answer 1

Asumir que es posible.Luego, obviamente, $a>b$ escritura $a=bx+r$$r \leq b-1$ .Entonces : $$2^b-1 \mid 2^{bx}-1$$

Multiplicar por $2^r$ para obtener : $$2^b-1 \mid 2^{bx+r}-2^r=2^a-2^r$$

Pero se sabe que $2^b-1 \mid 2^a+1$ en lo que resta de ellos se obtiene :

$$2^b-1 \mid 2^r+1$$

Esto significa que : $$2^b-1 \leq 2^r+1 \leq 2^{b-1}+1$$ $$2^{b-1} \leq 2$$ so $$b \leq 2$$ una contradicción .

Answer 2

Si $b$ es impar, entonces $b\mid 2a$ implica $b\mid a$, $2^b-1\mid 2^a-1$ y, por tanto, $2^b-1\nmid 2^a+1$ ($2^a+1$ entre $2^a-1$$2^a-1+(2^b-1)$).

Si $b$ es incluso, $b=2c$ decir $c\mid a$, por lo tanto $2^c-1\mid 2^a-1$$2^c-1\mid 2^b-1$. Como $c>1$ esto muestra $d:=\gcd(2^a-1,2^b-1)>1$ (y, por supuesto, impar) y por lo $\gcd(2^a+1,2^b-1)<\frac{2^b-1}{d}<2^b-1$.