De la aplicación de Riemann-Lebesgue Lema

Question

Estoy considerando la integral de la $\int_a^{\infty}f(t)\cos(\omega t)dt$ y quiero encontrar la forma asintótica de expansión mediante la Riemann-Lebesgue Lema donde como $\omega\rightarrow \infty$, $a,\omega$ real $f(t)$ $C^\infty$ $f^{(s)}(t)\rightarrow 0$ $t\rightarrow \infty$

Yo soy poco poco confundido aquí porque sé que $\int_a^{b}f(t)e^{ikt}dt\sim\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{(ik)^{n+1}}(f^{(n)}(b)e^{ikb}-f^{(n)}(a)e^{ika})$ donde suponemos que $f(t)$ $N+1$ contin. derivados y $f^{(N+2)}$ es por tramos contin en $[a,b]$.

También sé que $e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ pero me puedo conectar estas cosas?

Answer 1

Intuitivamente, la integral de $\cos$ en un período es igual a cero. En el caso de los grandes $ω$, $\cos(ωt)$ tiene la muy pequeño periodo $\frac{2\pi}ω$. Desde $f$ es suave, puede ser considerado casi constante a lo largo de dicho período, lo que sugiere que la integral es cero.

Para descartar lo obvio, y hacer la intuitiva declaración exacta, utilice la ya comentada parcial método de integración, $$ \int_a^\infty f(t)\cos(wt)dt=\left[f(t)\tfrac{\sin(wt)}{ω}\right]_^\infty-\int_a^\infty f'(t)\tfrac{\sin(wt)}{ω}dt $$ que permite escribir $$ \left|\int_a^\infty f(t)\cos(wt)dt\right|\le\frac1w\left(|f(a)|+\int_a^\infty |f'(t)|\right)dt $$ lo que permite concluir que la convergencia a $0$ si $f'\in L^1$, o por la repetición de la integración parcial, si alguna de las $f^{(n)}\in L^1$.