Minimizar la norma de Frobenius con restricción unitaria

Question

Estoy tratando de encontrar una tramsformación unitaria, $M$ que minimiza $\Vert MA-B \Vert_F^2$ donde $A$ y $B$ son $N\times L,\;L\ge N$ .

Sé cómo resolverlo sin la restricción unitaria. He pensado en utilizar multiplicadores de Lagrange con la restricción $\Vert M^HM-I \Vert_F^2 = tr\left\{ \left( M^HM-I \right)^H \left( M^HM-I \right)\right\} = 0$ pero el es bastante difícil de resolver. ¿Hay alguna forma más sencilla?

Gracias.

Answer 1

Desde $M$ es unitario se puede escribir $$\Vert MA-B\Vert_F^2=\Vert MA\Vert_F^2-2\langle MA,B\rangle_F+\Vert B\Vert_F^2\\ = \Vert A\Vert_F^2-2\mathrm{Re}\langle M,BA^*\rangle_F+\Vert B\Vert_F^2.$$ Por lo tanto, su optimización se reduce a maximizar $\mathrm{Re}\langle M,BA^*\rangle_F$ . Utilizando H $\ddot{\text{o}}$ lder y la SVD de $BA^*=USV^*$ es sencillo demostrar que el máximo es la norma 1 de Schatten de $BA^*$ que se alcanza en $M=UV^*$ .