Un sistema de numeración construido alrededor de Dirichlet de la serie, por analogía de cómo posicional de numeración sistemas están construidos alrededor de potencia de la serie?

Question

Para cualquier número natural y la base elegida p, el número admite una expresión única de la forma $a_np^n + ... + a_2p^2 + a_1p^1 + a_0$ donde $a_k < p$ para todos los k. Esta propiedad es, efectivamente, lo que hace que nuestro Hindú-árabe posicional de numeración sistema de notación posible.

Cuando se multiplican dos polinomios (o de alimentación de la serie) juntos, básicamente estás tomando la convolución discreta de sus ordenado de secuencias de coeficientes. Esto es esencialmente lo que estamos haciendo cuando multiplicamos los números en un sistema de numeración posicional, excepto que hay un adicional de "realizar" paso a poner el número en su representación canónica.

Otra utilidad de tipo de serie infinita es una de Dirichlet de la serie, que se parece a $... + a_3 3^p + a_2 2^p + a_1$; p es ahora el exponente en lugar de la base. Podría este tipo de series de ser también la base para un sistema de numeración?

Por ejemplo, hay una manera de canónicamente representar cualquier número como una suma finita $a_n n^p + ... + a_3 3^p + a_2 2^p + a_1$? Cuando la multiplicación de dos números en este formato, sería la multiplicación parecerse a los de Dirichlet de convolución en lugar de la ordinaria de convolución, con algún otro tipo de "llevar" a hacer todo el trabajo?

Estoy interesado en ver cómo esto podría funcionar - o si era un error, y si es así, ¿por qué!

Answer 1

Hay un poco de subjetividad en este problema, así que voy a exponer mis pensamientos y opiniones.

Voy a usar los números en paréntesis representan finito de Dirichlet de la serie. Si $p=1$, para representar $n$, $[1000\ldots 0]$ funciona y es sin duda el mejor representación. Si $p=2$, las plazas son 1,4,9,16,25,36... Desde $9+16=25$,$[1100]=[10000]$, y tenemos que decidir que queremos.

Desde la convención utilizada en la base de $\varphi$ notación es para evitar adyacentes 1, probablemente deberíamos preferir $[10000]$. Ahora, si nuestra única prioridad es minimizar el número de distinto de cero entradas, todos los no-squarefree número tiene un montón de muy aburrido $p=2$ representaciones. Para que sea más como una base estándar de notación, una idea que yo tenía era que debemos tratar de minimizar la suma de los dígitos.

Los primeros números enteros positivos tienen un bonito patrón por un tiempo: $[1]$,$[2]$,$[3]$,$[10]$,$[11]$,$[12]$,$[13]$,$[20]$,$[100]$,$[101]$,$[102]$ Pero luego llegamos a $[30]$=$[103]$. El problema es que estéticamente, $[30]$ puede ser malo porque perdemos la idea de que una vez que usted está usando los dígitos en un cierto lugar, tendrás que colocar (o superior) para todos los números más altos. Si usted acepta $[30]$ ya que tiene un menor suma de dígitos, entonces podría haber una manera única de escribir todo con un mínimo de dígitos-sumas; no he dado mucho pensamiento.

Pero si eres como yo, y no la acepta, entonces es posible que desee poner tapones en los valores en cada lugar: por ejemplo, el 4 lugar no tiene nada de más de 2 puesto 2*4+1=9. Naturalmente, esto conduce a una especie de algoritmo voraz, donde el más grande de la plaza, a menos que el número se obtiene la máxima de dígitos que puede y, a continuación, la plaza más grande menos de lo que la izquierda hace, etc. Usted consigue un poco raro continuación como $[103]$,$[110]$,$[111]$,$[112]$,$[1000]$ (mejor que $[113]$),$[1001]$,$[1002]$ (desde $[200]$ no está permitido), $[1003]$,$[1010]$,$[1011]$,$[1012]$,$[1013]$,$[1020]$,$[10000]$ (ya que este es mejor que el de $[1100]$). Usted puede permitir que este algoritmo voraz para dar representaciones para cualquier $p$, pero no sé cómo lo satisfactorio que sería para usted.