¿Buena fuente para simulaciones numéricas de la función de Wigner?

Question

Estoy interesado en simular la evolución temporal de una función de Wigner para un oscilador armónico (y posiblemente algunos otros potenciales) y no consigo encontrar un buen recurso para ello. Mi experiencia en métodos numéricos es bastante limitada, así que estoy buscando algo adecuado para un principiante (explicación de los algoritmos utilizados, por ejemplo).

Editar:

Por función de Wigner me refiero a la distribución de cuasiprobabilidad utilizada para la mecánica cuántica en el espacio de fase, tal y como se define aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner_quasiprobability_distribution

La ecuación de evolución temporal que me interesa resolver puede expresarse de muchas maneras diferentes, aunque en el caso del oscilador armónico se reduce a la ecuación de Liouville:

$$\frac{\partial W(x,p;t)}{\partial t} = -\frac{p}{m}\frac{\partial W(x,p;t)}{\partial x}+m\omega^2x\frac{\partial W(x,p;t)}{\partial p}$$

Esto equivale a lo siguiente:

$$\frac{\partial W(x,p;t)}{\partial t} = -\frac{p}{m}\frac{\partial W(x,p;t)}{\partial x}-\frac{1}{2 \pi \hbar^2} \int_{-\infty}^{\infty}dp'F(x,p-p')W(x,p')$$

con el núcleo

$$F(x,p-p')=\int_{-\infty}^{\infty} dx' \sin \left( \frac{x'(p-p')}{\hbar} \right) \left[ V \left( x+\frac{x'}{2} \right)- V \left( x-\frac{x'}{2} \right) \right]$$

donde $V(x)=\frac{1}{2}m \omega^2x^2$

Así que $$F(x,p-p') =m\omega ^2 x\int_{-\infty}^{\infty} dx' x' \sin \left( \frac{x'(p-p')}{\hbar} \right). $$

Aunque esto no converge por sí solo.

Answer 1

Su ecuación en la forma Liouville es elemental para la integración numérica, es estructuralmente sólo una ecuación de advección lineal con coeficientes espacialmente variables. La ecuación transformada con el núcleo F no es útil en absoluto para la solución numérica, no te molestes con ella.

Todo lo que tenemos aquí es una ecuación de advección 2D (uso y en lugar de p):

$$ \partial_{t} W(x,y,t) = V_x(x,y) \partial_{x} W(x,p,t) + V_y(x,y) \partial_{x} W(x,p,t) $$

donde $V_x=C_1 y$ y $V_y=C_2 x$ .

Una forma sencilla de resolverlo es utilizando el time-stepping explícito para la forma discretizada espacial y temporalmente

$$ (W_{i,j}^{k+1}-W_{i,j}^{k})/\tau = V_x (W_{i,j}^{k}-W_{i-1,j}^{k})/\delta x + V_x (W_{i,j}^{k}-W_{i,j-1}^{k})/\delta y $$

Este esquema elemental de paso de tiempo permitirá la integración en el tiempo; siempre que se proporcionen las condiciones de contorno aguas arriba se puede marchar a lo largo de las características. Tenga en cuenta que en este método surgirán algunas restricciones en el paso de tiempo debido a los requisitos de estabilidad, y el orden de precisión es bajo. También tenga en cuenta que la discretización espacial upwind se utiliza para los operadores de advección, de lo contrario será inestable para cualquier paso de tiempo. Se puede mejorar esto un poco usando Lax-Wendroff explícito o algún otro esquema clásico para EDP hiperbólicas. Sin embargo, con los ordenadores de hoy en día, puedes utilizar fácilmente el paso de tiempo implícito y resolver todo el dominio como un sistema lineal de ecuaciones. Para mejorar la precisión, yo pasaría al 4º orden en la discretización espacial. Tenga en cuenta que $(x=0,y=0)$ es un punto singular en este caso, por lo que hay que tener cierto cuidado para evitar su uso en la plantilla numérica.

Answer 2

Bueno, para el oscilador armónico, tienes la respuesta cerrada completa, así que realmente no necesito numérico. Es, como descubrió Groenewold en su tesis de 1946 (Thomas L. Curtright, David B. Fairlie, & Cosmas K. Zachos, Tratado conciso sobre la mecánica cuántica en el espacio de fases, World Scientific, 2014. El archivo PDF está disponible aquí .), simplemente rotación rígida !:

$$W(x,p; t) = W(x \cos t p \sin t, p \cos t + x \sin t; 0).$$

Han puesto $m==1$ para simplificar.

Un ejemplo de simulación numérica de vanguardia este año es

• Shao & Sellier, "Comparison of deterministic and stochastic methods for time-dependent Wigner simulations", J. Comput. Phys. 300 167-185 (2015) .

Las siguientes referencias clásicas se basan en la simulación numérica para extraer conclusiones sólidas con conocimientos útiles sobre la evolución temporal de la FW, e incluyen enlaces a fuentes numéricas:

• O. Steuernagel, D. Kakofengitis y G. Ritter, "Wigner Flow Reveals Topological Order in Quantum Phase Space Dynamics", Phys. Rev. Lett. 110 , 030401 (2013) , arXiv:1208.2970 .

• O. Gat, "Quantum dynamics and breakdown of classical realism in nonlinear oscillators", J. Phys. A: Math. Theor. 40 F911 (2007) , arXiv:quant-ph/0702191 .

• T. Dittrich, E. A. Gómez y L. A. Pachón, "Semiclassical propagation of Wigner functions", J. Chem. Phys. 132 , 214102 (2010) , arXiv:0911.3871 .

• T. Dittrich, C. Viviescas, y L. Sandoval, "Semiclassical Propagator of the Wigner Function", Phys. Rev. Lett. 96 , 070403 (2006) , arXiv:quant-ph/0508057 .

Answer 3

No sé si te sigue interesando esta cuestión, pero hay algunos trabajos en la literatura que podrían ser muy interesantes para ti:

En este documento proponen una interpretación de la función de Wigner como una función de onda particular y en este otro proponen un método numérico para calcular la propagación, tenga en cuenta que podría estar interesado en la versión más antigua del documento ( v2 ) que también contiene código python en el apéndice.