Encuentre $p(2)$ de un polinomio $p$

Question

Dejemos que $p$ sea un polinomio de cuarto grado con extremo en $x=1$ y $x=2$ y $\lim \limits_{x \to0}\left(1+\frac{p(x)}{x^2}\right)=2$ . Entonces el valor a $p(2)$ ¿es?

Este problema estaba en mi libro, lo he intentado pero no tengo ni idea de cómo empezar.

Answer 1

Obsérvese que el límite existe si

$$\lim \limits_{x \to0} \frac{p(x)}{x^2}=1$$

y si $p(0)=0$ , luego por L'Hôpital

$$\lim \limits_{x \to0} \frac{p(x)}{x^2}=\lim \limits_{x \to0} \frac{p'(x)}{2x}=1$$

entonces $p'(0)=0$ y por L'Hôpital

$$\lim \limits_{x \to0} \frac{p'(x)}{2x}=\lim \limits_{x \to0} \frac{p''(x)}{2}=1\implies p''(0)=2$$

Además, sabemos que $p'(1)=p'(2)=0$ .

Entonces para $p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ deducimos

• $p(0)=0 \implies e=0$
• $p'(0)=0 \implies d=0$
• $p''(0)=2 \implies 2c=2 \implies c=1 $

entonces $p(x)=ax^4+bx^3+x^2=0$ y ahora aplica $p'(1)=0$ y $p'(2)=0$ es decir

• $4a+3b+2=0$
• $32a+12b+4=0$

es decir $a=\frac14$ y $b=-1$ entonces

$$p(x)=\frac14x^4-x^3+x^2$$

Answer 2

Puedes escribir $p(x)=A+Bx+Cx^2+Dx^3+Ex^4$ ; calcular la derivada y evaluarla en $1$ y $2$ donde debería estar $0$ . También $$ \lim_{x\to0}\frac{p(x)}{x^2}=1 $$ implica que $A=0$ y $B=0$ (¿por qué?), pero también proporciona otra condición.

En total tienes cinco condiciones que te permiten escribir el polinomio y calcular su valor en $2$ .

Answer 3

Dejemos que $P(x)=Ax^4 +Bx^3+Cx^2+Dx+E.$ Desde $\lim_{x\to 0} 1+[P(x)/x^2]=2,$ debemos tener $E=0$ y $D=0$ y $C=1.$

Así que $P(x)=Ax^4+Bx^3+x^2.$

Así que $P'(x)=4A^3+3Bx^2+2x.$

Desde $0=P'(1)=P'(2)$ tenemos $0=32A+12B+4=4A+3B+2,$ de la cual $A$ y $B$ se encuentran.

Answer 4

El límite finito implica $p=x^2+ax^3+bx^4$ . La derivada $2x+3ax^2+4bx^3$ se desvanece en $1$ y $2$ , lo que da lugar a ecuaciones simultáneas que obtienen $a$ y $b$ . Entonces $p(2)=4+8a+16b$ es trivial.