Si $AX=0 \Rightarrow BX=0$, demostrar que no es $C$ tal que $B=CA$

Question

Deje $A,B$ $3 \times 3$ real matrices tales que, para cualquier vector $v$ si $Av=0$ también tenemos $Bv=0$.
Demostrar que no es $C$ tal que $B=CA$.

Si $A$ es invertible, podemos obtener $C=BA^{-1}$. Ahora vamos a decir que $A$ a no es invertible, por lo $\det A=0$. Esto significa que el sistema de ecuaciones lineales $Ax=0$ tiene un valor distinto de cero de la solución. Pero esto significa que también se $Bx=0$ tiene un valor distinto de cero solución para $\det B=0$.
Deje $v \neq 0$ tal que $Av=Bv=0$. A continuación, $(A+B)v=(A-B)v=0$ da $\det(A+B)=\det(A-B)=0$. El uso de $$\det(A+\lambda B)=\det A +p\lambda +q \lambda^2+(\det B)\cdot \lambda^3=p\lambda+q\lambda^2$$ y estos resultados da $p=q=0$, lo $\det(A+\lambda B)=0, \forall \lambda \in \mathbb{C}$. Aquí es donde me quedé atrapado. Es allí cualquier manera de terminar de aquí?

Answer 1

Si $\operatorname{null}A=\mathbb{R}^3$, el problema es trivial.

Si $\dim\operatorname{null}A=2$, vamos a $\{v_1,v_2\}$ ser una base de $\operatorname{null}A$ y deje $v_3\in\mathbb{R}^3$ ser tal que $\{v_1,v_2,v_3\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$. Si $B=0$, tome $C=0$. De lo contrario, $\dim\operatorname{null}B=2$ y hay un $w\in\mathbb{R}^3\setminus\operatorname{null}B$. Tome una matriz de $C$ tal que $C.(A.v_3)=B.w$. Entonces, desde$$C.(A.v_1)=0=B.v_1\text{ and }C.(A.v_2)=0=B.v_2,$$$B=CA$.

En el caso en que $\dim\operatorname{null}A=1$ es similar y se ha tratado ya con el caso en el que $\dim\operatorname{null}A=0$.

Answer 2

En realidad esto es más fácil para $n\times n$ matrices.

Escribir $A=[a_1\ a_2\ \dots\ a_n]$$B=[b_1\ b_2\ \dots\ b_n]$. Usted quiere encontrar una matriz $C$ tal que $Ca_i=b_i$$i=1,\dots,n$.

Supongamos que tenemos $\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\dots+\alpha_na_n=0$, lo que equivale a decir que $$ A\begin{bmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}=0 $$ Por hipótesis, esto implica $$ B\begin{bmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}=0 $$ Por lo tanto, cualquier relación lineal entre las columnas de a $A$ implica que el similar de la relación entre las columnas de a $B$.

Aislar un máximo linealmente independientes set $\{a_{i_1},\dots,a_{i_k}\}$ entre las columnas de a $A$ y completar a base $\{a_{i_1},\dots,a_{i_k},v_{k+1},\dots,v_n\}$$\mathbb{R}^n$. Entonces existe una transformación lineal envío de $a_{i_j}$ $b_{i_j}$(para las columnas se extrajo anteriormente, por lo $j=1,\dots,k$) y los otros vectores de la base, digamos, $0$ (en realidad es irrelevante).

Deje $C$ ser la matriz de esta transformación lineal. A continuación,$Ca_{i_j}=b_{i_j}$$j=1,\dots,k$. También, si $a_{r}=\beta_1a_{i_1}+\dots+\beta_ka_{i_k}$, entonces sabemos que $$ b_{r}=\beta_1b_{i_1}+\dots+\beta_kb_{i_k} $$ así también se $Ca_{r}=b_r$.

Por lo tanto $CA=B$.