La colocación de 8 idénticos torres en el tablero de ajedrez de manera que ninguno de ellos ataques de unos a otros y ninguno de ellos ocupa la diagonal larga

Question

De cuántas maneras podemos colocar $8$ idénticos torres en un tablero de ajedrez, de modo que ninguno de ellos ataques de unos a otros y ninguno de ellos está en el largo de la diagonal A1 - H8?

Pensé acerca de la inclusión-exclusión principio, sin embargo, es difícil determinar cuántos de los posibles movimientos de cada una de estas torres tendrá que depende de la elección de la uno a reorganizar.
También, me hizo algunas observaciones sobre el tablero de ajedrez y se dieron cuenta de que no es posible tener un número impar de torres de la diagonal larga, mientras que el resto de ellas ocupan de ella - puede ser de alguna ayuda a la inclusión-exclusión, pero no puedo enlace juntos.

Todas las sugerencias serán más apreciados.

Answer 1

Deje $T$ denota el conjunto de posibilidades para colocar las torres en el tablero de tal manera que ninguno de ellos ataca a otra.

Para $L\in\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$ deje $L$ denota el subconjunto de las posibilidades que se caracteriza por una torre diagonal $A1-H8$ de la fila $L$.

Luego de ser encontrado es:$$|A^{\complement}\cap\cdots\cap H^{\complement}|=|T|-|A\cup\cdots\cup H|=8!-|A\cup\cdots\cup H|$$

Luego de inclusión/exclusión y la simetría venir y la cardinalidad de una intersección de $k$ elementos distintos de a$\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$$(8-k)!$.

Esto conduce a:$$8!-|A\cup\cdots\cup H|=\sum_{k=0}^{8}\left(-1\right)^{k}\binom{8}{k}\left(8-k\right)!=14833$$posibilidades.

Answer 2

Mediante la Inclusión-Exclusión es una de las maneras de acercarse a este (y es una buena práctica para la inclusión-exclusión). Considerar por el número de torres que se encuentran en la diagonal.

El número total de posibilidades será de 8! (a partir de aquí empiezan excluyendo posibilidades)

Para ver esto consideremos que una torre tendrá que ser colocado en cada fila. Para la primera fila tiene 8 opciones, para el segundo no puede ir en la misma columna que el primero tiene 7 opciones y así sucesivamente.

Trate de Inclusión-Exclusión de aquí y déjame saber si necesitas más consejos

Answer 3

Edit: este método no tiene en cuenta lo que sucede cuando elija la fila superior de selecciones después de la primera (ver el primer comentario). Se necesita un poco de adaptación.

Un truco para acercarse a este:

• Coloque la primera torre en cualquier lugar en la primera columna de la diagonal principal. 7 opciones.
• Ir más en la fila de su primera elección a la diagonal principal. Lugar la 2ª torre en la columna. Todavía hay 7 opciones.
• Ir más en la fila de la 2ª torre a la diagonal principal, y el lugar de la tercera torre en la columna. Ahora hay 6 opciones, como la primera torre se restringe a un punto en esta columna.

Continuar con esto, siempre colocando nuevas torres en la columna donde la anterior torre de los ataques de la diagonal principal. Cada nueva torre tiene 1 par de lugares disponibles que el de antes. Por lo tanto habrá $7\cdot 7! = 35280$ maneras se puede hacer.