Rectángulo de disección en rectángulos similares

Question

Aquí es un rectángulo dividido en rectángulos similares a sí mismo:

El pequeño rectángulo horizontal tiene dimensiones de la $1.20613\times1$. Que el primer valor es la raíz cuadrada de la mayor raíz de $-1 - 5 x + x^2 + 2 x^3 = 0$. El discriminante de que el polinomio es de 1101. Todas las diversas raíces de las utilizadas en los otros rectángulos se puede equiparar a este discriminante, ya sea directamente o a través de el cuadrado de la raíz. Vamos a decir que este rectángulo tiene discriminante 1101.

Un par de reglas que este rectángulo de la siguiente manera:
1. Al menos un rectángulo tiene un borde de longitud 1.
2. Si dos rectángulos son congruentes, tienen diferentes orientaciones.
3. El rectángulo exterior es similar a la de la componente de rectángulos.
4. Todos los componentes rectángulos son semejantes.
5. El rectángulo exterior se divide en más de 1 componente de rectángulos.

He aquí una similar rectángulo de disección con discriminante 5, correspondiente a la proporción áurea. Si el discriminante no puede ser alcanzado con menos rectángulos, la disección es mínima.

Si la Regla 3 es relajado, un cuadrado puede ser dividido en rectángulos con discriminante -23, lo que indica la constante de plástico.

Estoy particularmente buscando soluciones (sin relajación de la regla _ 3) dar la Pisot números, que han discriminantes
-23 plástico (constante),
-31 (Narayana Vaca constante),
-283 bases ($-1 - x^3 + x^4 = 0$),
1609 ($-1 + x^2 - x^3 - x^4 + x^5=0$),
3857 ($-1 - x - x^2 - x^3 + x^5=0$),
4477 ($-1 - x^2 - x^4 + x^5=0$),
29077 ($-1 + x - x^2 + x^4 - 2 x^5 + x^6=0$) y
37253 ($-1 + x^2 - x^4 - x^5 + x^6=0$)

Otras soluciones que me gustaría ver son aquellos en los que todos los componentes rectángulos aparecen dos veces en diferentes orientaciones y aquellos en los que la proporción de los tamaños de componentes es una serie simple, y todas las posibles discriminantes para 6 y menos de componente rectángulos.

Aquí es donde yo no uso una arista de longitud 1 porque quería mostrar áreas del rectángulo. Si el 40 36 lugar, tendríamos los cuadrados de 1 a 7 como áreas de rectángulos similares. Pero no del todo.

He aquí un sorprendente encontrar, ahora que estoy en la comprensión de estos, mejor. Esto tiene la misma relación de aspecto como de papel de tamaño A4.

Answer 1

He encontrado un número de ellos ahora, basado en un esquema de construcción, pero no creo que alguno de los "Más buscados" de la lista:

N    Aspect Ratio
= ===================================
3 1.272019.. Sqrt[1/2 (1+Sqrt[5])]

4 1.316074.. 3^(1/4)
4 1.553773.. Sqrt[1+Sqrt[2]]

5 1.272019.. Sqrt[1/2 (1+Sqrt[5])]
5 1.517489.. Sqrt[1/2 (1+Sqrt[13])]

6 1.277886.. 2^(3/4)/3^(1/4)
6 1.606592.. Sqrt[1+Sqrt[5/2]]

7 1.272019.. Sqrt[1/2 (1+Sqrt[5])]
7 1.316074.. 3^(1/4)
7 1.366937.. Sqrt[1/3 (2+Sqrt[13])]
7 1.553773.. Sqrt[1+Sqrt[2]]
7 1.600485.. Sqrt[1/2 (1+Sqrt[17])]

8 1.272864.. 21^(1/4)/2^(3/4)
8 1.380472.. Root[-4-10 #1^2-3 #1^4+3 #1^6+#1^8&,2]
8 1.420609.. Root[-1-6 #1^2-9 #1^4+3 #1^8&,2]
8 1.616307.. Sqrt[1+Sqrt[13/5]]