La cardinalidad de $\{f\subseteq\mathbb R^2\mid f\colon\mathbb{R\to R}\text{ is a function}\}$ es estrictamente mayor que la cardinalidad de $\mathbb R$

Question

Tengo un problema raro. Vamos a definir $\mathcal{F}=\{f\subseteq \mathbb{R}^2\mid f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\text{ is a function}\}$.
Estoy tratando de demostrar que no existe un surjection $g:\mathbb{R}\twoheadrightarrow \mathcal{F}$.
Estoy completamente perplejo, aunque. He intentado modificar el Cantor de la diagonal argumento, pero que no llevan a ninguna parte porque, bueno, $\mathbb{R}$ es incontable. Siguiente, he intentado hacer algo con el Cantor del teorema, porque era lo único que se podía encontrar en el que se demostró que un surjection de algo que no era posible. Que no funciona tampoco. ¿Hay algo que pueda me apunte en la dirección correcta aquí?

Answer 1

Supongamos que un surjection $g$ existe.

Podemos considerar ahora una función de $f\in \mathcal F$ tal que $f(x)\neq (g(x))(x)$ por cada $x\in \mathbb R$. Una posible manera de hacer esto es por la elección de $f$, de modo que $f(x)=(g(x))(x)+1$ . Esto es una contradicción, como claramente $f\neq g(x)$ por cada $x$ $f$ $g(x)$ tomar diferentes valores en $x$.

Aviso esto es, básicamente, el cantor de la diagonal argumento.

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Si desea utilizar el cantor del argumento directamente usted puede notar que la $\mathbb R^\mathbb R \supseteq {\{0,1\}}^\mathbb R\cong 2^\mathbb R$

Answer 2

Estás tratando de reducir a la del teorema de Cantor.

Usted también puede hacer que mirando las funciones de $\chi_A(x)=1$ si $x\in A$ $=0$ si $x\notin A$$A\subset \mathbb{R}$.

Esto le da una inyección de$P(\mathbb{R})$$\mathcal{F}$.

Por lo tanto,$|\mathcal{F}|\geq |P(\mathbb{R})|>|\mathbb{R}|$.

Tanto en sus enfoques eran viables.

Answer 3

Cantores argumento no requiere countability.

Todo lo que necesitas es si $h: X \to Y$ es la función y se puede construir una $y \in Y$ $h_x \ne y$ cualquier $x\in X$ $f$ no puede ser surjective.

El trampolín viene si el $y \in Y$ son individualmente cosas con la misma cardinalidad de a $|y| = |X|$ podemos hacer una $y_x \ne (h_x)_x$ $y \ne h(x)$ cualquier $x \in X$.

Y funciones son una perfecta situación para hacerlo. Jorge Fernández, la respuesta es un buen ejemplo de cómo hacerlo:

Si tenemos una función: $h: \mathbb R \to F$, entonces si podemos definir a la $f$, de modo que $f\ne h_x$ cualquier $x \in \mathbb R$ $h$ no es surjective. Podemos hacer esto mediante la definición de $f(x) \ne h_x(x)$. De esa manera $f\ne h_x$ cualquier $x$. Y podemos hacer esto, pero la definición de $f(x) = h_x(x) + 1$

Answer 4

Hay más números reales que dos: $$|\mathbb R|>2$$ así que no es menos funciones $\mathbb R\to\mathbb R$ funciones $\mathbb R\to\{0,1\}$: $$\left|\mathbb R ^ \mathbb R\right| \ge \left|\{0,1\} ^ \mathbb R\right|$$

Y cada una de las funciones de la $\mathbb R\to\{0,1\}$ familia identifica (es decir, es una función característica de) algún subconjunto de los reales. Por el Cantor del teorema sabemos que cada conjunto – $\mathbb R$ entre ellos – ha estrictamente más subconjuntos de elementos: $$\left|2^\mathbb R\right| > |\mathbb R|$$ por lo tanto $$\left|\mathbb R ^ \mathbb R\right| \gt \left|\mathbb R\right|$$