Demuestra que la matriz AB es invertible.

Question

Supongamos que $A$ y $B$ son $n \times n$ matrices tales que $||I-AB||$ es menor que $1$ entonces demuestre que $AB$ es invertible.

Empecé a demostrarlo por contradicción. Asumiendo que no era invertible por lo que $(I-AB)x=0$ y $||x|| = 1$ así $x=ABx$ . He intentado encontrar una contradicción pero no he tenido suerte. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Dada cualquier matriz $M$ es fácil ver que si $\lambda$ es un valor propio, entonces $||M|| \geq |\lambda|$ .

Su prueba por contradicción debe comenzar asumiendo que $AB$ no es invertible, por lo que existe una norma unitaria $x$ tal que $ABx = 0$ . De ello se deduce que la matriz $I-AB$ tiene un valor propio de $1$ lo que lleva a una contradicción.

Answer 2

Demuestra que $I - C$ es invertible cuando $||C|| < 1$ utilizando la serie geométrica $\Sigma_{k = 0}^{\infty}C^k$ . A continuación, elegir $C = I - AB$ te da el resultado.