Si los grupos algebraicos divididos son potencialmente isomorfos, ¿lo son?

Question

Supongamos que $K$ es un campo (no necesariamente cerrado algebraicamente), y $G_1$ y $G_2$ son dividir grupos algebraicos semisimples sobre $K$ que se convierten en isomorfas sobre $\bar{K}$ el cierre algebraico de $K$ . Son $G_1$ y $G_2$ isomorfo sobre $K$ ? ¿Y si el $G$ ¿son reductores?

Parece que esto debería seguirse (al menos en el caso semisimple) del teorema de la estructura general de Tits para grupos semisimples sobre un campo no necesariamente cerrado algebraicamente; como se explica en la sección 35.5 de Humphreys Grupos algebraicos lineales un grupo algebraico semisimple está determinado por su $\bar{K}$ clase de isomorfismo, su núcleo anisotrópico (que parece ser trivial para un grupo dividido) y su "índice" (para el que de nuevo sólo parece haber una opción para un grupo dividido). Pero no soy lo suficientemente experto como para confiar completamente en este argumento...

Answer 1

La respuesta es sí, por arbitraria división conectado reductora grupos sobre cualquier campo. El punto principal es que la Existencia, Isomorfismo, y Isogeny Teoremas (en relación con split conectado reductiva de los grupos y de la raíz de los datos) son válidas a través de cualquier campo. Una referencia es SGA3 cerca del final (que funciona con cualquier base de esquema), pero en el Apéndice A. 4 del libro "Pseudo-reductora grupos" no se da una prueba directa sobre los campos a través fielmente plano descenso, tomando como entrada los resultados de más de algebraicamente cerrado campos (ya que por alguna razón el no SGA3 referencias siempre parecen hacer esta restricción).

[Advertencia: A. 4 da un tratamiento completo para el Isomorfismo y Isogeny Teoremas generales de tierra de campos, y eso es lo que la pregunta es realmente acerca de todos modos; por el Teorema de Existencia en el caso de excepcional tipos no conozco una manera de "tirar de él hacia abajo" de una expresión algebraica cierre, en lugar de tener que revisar las construcciones para hacerlos trabajar más de prime campos o $\mathbf{Z}$.]

Answer 2

Aquí hay otra referencia que parece muy legible: A. Borel, J. Tits, Groupes réductifs Publ. Math. IHES , 27 (1965) pp. 55-150, Theorem 2.13: Two reductive $K$ -grupos divididos $G$ y $G'$ que son isomorfas sobre $\bar{K}$ ya son isomorfas sobre $K$ .