Direccional Derivado: ¿por qué no hay cos($\alpha$) en la fórmula

Question

Estoy aprendiendo Derivada Direccional en Khan Academy. Aquí está la definición de Derivada Direccional:

Por tanto, la fórmula para calcular la derivada direccional es:

Pero como yo sabía, el punto de este producto debe ser:

No entiendo este punto. Por favor, explique por qué la fórmula para calcular la derivada direccional no tiene "cos($\alpha$)".

Answer 1

El Producto escalar de dos vectores $x=[x_1,x_2\cdots, x_n], a=[a_1,a_2\cdots, a_n]$ es algebraicamente define como $$x\cdot a=\sum_{i=1}^nx_ia_i=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n$$ En su caso tenemos que los vectores $v=[v_1, v_2, v_3]$$df=\Large [\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}]$.

Espero que ahora está claro por qué la fórmula descrita es correcta.

En la distancia Euclídea $2D$-espacio, de hecho, tenemos un equivalente de la forma geométrica que implican $\cos$ como usted menciona en su pregunta.