Probar que un ideal es el prime - ¿es correcto?

Question

Necesito demostrar que a pesar de $X^2 + 3X +1 \in \mathbb{Z} [X]$ es irreductible, los ideales $(5,X^2 + 3X +1 )$ $(11, X^2 + 3X +1)$ no sean de primera.

Sé que un ideal $I$ es el primer fib ${\mathbb{Z}[X]}/I$ no tiene divisores de cero.

Así, cuando llega el primer ideal, tenemos: ${\mathbb{Z}[X]}/(5,X^2 + 3X +1)={\mathbb{Z_5}[X]}/{(X^2 + 3X +1 )} = {\mathbb{Z_5}[X]} / {((X-1)^2 )}$.

Eso significa que $X-1 + ((X-1)^2)$ es un divisor de cero en el cociente del anillo de modo que el ideal no es primo. Es eso correcto?

Del mismo modo, para $(11, X^2 + 3X +1)$ tenemos que $X^2 + 3X +1 = X^2 -8X + 12 = (X-2)(X-6)$$\mathbb{Z}_{11}[X]$.

Por lo $p \in \mathbb{Z}$ prime es el ideal $(p,X^2 + 3X +1 )$ prime?

Me podrían ayudar un poco?

Answer 1

Si $p=2$, $X^2+3X+1$ es irreductible modulo $p$.
Para $p\ge 3$ uno puede escribir $X^2+3X+1=(x+3/2)^2-5/4=[(2X+3)^2-5]/4$ y tu pregunta se reduce a lo siguiente: Determinar todos los números primos p para los que 5 es un residuo cuadrático módulo p. (Tal vez yo tenía que decir que $\mathbb Z[X]/(p,X^2 + 3X +1)\simeq(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]/(X^2 + 3X +1)$.)

Por lo $p \in \mathbb{Z}$ prime es el ideal $(p,X^2 + 3X +1)$ prime? Para $p\equiv 2,3\bmod 5$.