¿Por qué es el polinomio cero no se le asigna un grado?

Question

Ayer, leí en mi libro de texto,

Asignamos grado de cada polinomio e incluso un no-cero constante se le asigna un grado $0$ pero $0$ sí no se le asigna un grado.

¿Por qué es eso? Por qué no nos asignar grado $0$ cero polinomio?

Answer 1

Esto es para hacer un bonito reglas tales como $$ \text{grados }(PQ) = \text{grados }P + \text{grados }Q\\ \text{grados }(P+Q) \le \max(\text{grados }P , \text{grados }Q) $$

Así que el único valor que hace posible es $$\text{deg }0= -\infty$$

Answer 2

La asignación de un grado del polinomio cero causará problemas con la importante y útil teoremas que relacionan el grado de un polinomio a sus raíces:

Si $F$ es un campo (ejemplos de campos $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$), un polinomio $P$ con coeficientes en $F$ (el anillo de estos polinomios es usualmente denotado por $F[x]$) de grado $n$, en la mayoría de las $n$ distintos puntos de $\alpha\in F$ tal que $P(\alpha)=0$.

De este teorema se deduce del hecho de que podemos repetidamente factor de condiciones de la forma $x-\alpha$ (donde $\alpha$ es una raíz) de $P(x)$, bajando el grado del resto de polinomio por $1$ en cada paso. Vea también: http://en.wikipedia.org/wiki/Factor_theorem.

Cuando restringimos a los polinomios con coeficientes en $\mathbb{C}$, la instrucción está relacionado con el Teorema Fundamental del Álgebra.

Ahora bien, desde la cero del polinomio en $F[x]$ tiene una raíz en cada punto en $F$, al menos para los infinitos campos ($\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Q}$), no podemos asignar un valor finito para el grado del polinomio cero sin meterse en líos.

Answer 3

El grado de un polinomio es el exponente del término con el más alto poder (y no-cero coeficiente).

$$5x-4x^4+2\to x^4\to 4$$ $$0x^{45}+1x^3+2x^2\to x^3\to3$$ $$21\to x^0\to0$$ $$0\to ??$$

El polinomio nulo no contiene la potencia de la variable.