Demostrar la relación trigonométrica

Question

Hace poco encontré esta identidad en una hoja de papel que me dieron como material de estudio: $$\prod^n_{k=1}\sin\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\tag1$$ $$\prod^n_{k=1}\cos\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)=\frac{1}{2^n}\tag2$$ $$\prod^n_{k=1}\tan\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)=\sqrt{2n+1}\tag3$$

Estaban allí como identidades auxiliares lo que significa que podríamos utilizarlos si fuera necesario. Pero me parecieron muy interesantes, así que intenté demostrarlas. Después de un rato luchando con ecuaciones, conseguí demostrar que $(2)$ para $n=1,2,3$ Utilizo con dificultad creciente la fórmula de la suma de cosenos, el producto de cosenos y la fórmula de la progresión aritmética de cosenos. No he podido terminar la demostración de $n=4$ porque lo necesitaba: $$\left(2\cos\frac{\pi}{9}\right)\left(2\cos\frac{2\pi}{9}-1\right)=1\tag{4}$$ Equivalentemente, mostrando que $\cos\frac{\pi}{9}$ es una solución de $$8x^3-2x-1=0$$

Y ni idea con $(1)$ y $(3)$ Lo mejor que se me ha ocurrido es que, como la raíz cuadrada no puede aparecer de la nada, considerando el cuadrado y haciendo un truco ingenioso que dé como resultado una suma que produzca $2n+1$ de alguna manera lo haría. Pero hasta ahora no he tenido suerte. ¿Alguna idea?

Edita: En realidad, la prueba de $(4)$ no era tan difícil: $$2*2\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}-2\cos\frac{\pi}{9}=1$$ $$\iff 2*\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{9}\right)-2\cos\frac{\pi}{9}=1$$ $$\iff 2*\left(\frac{1}{2}+\cos\frac{\pi}{9}\right)-2\cos\frac{\pi}{9}=1$$ La última es claramente cierta.

Answer 1

Considere

$$\prod_{k=1}^{2n} \sin \left(\frac{k\pi}{2n+1}\right).$$

Por simetría, es el cuadrado de su primer producto, y expandiéndolo con la fórmula de Euler, encontramos

$$\begin{align} \prod_{k=1}^{2n} \sin \left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) &= \frac{1}{(2i)^{2n}}\prod_{k=1}^{2n} \left(\exp \frac{k\pi i}{2n+1} - \exp \frac{-k\pi i}{2n+1}\right)\\ &= \frac{1}{(2i)^{2n}} \exp\left(\frac{\pi i (2n)(2n+1)}{2(2n+1)}\right) \prod_{k=1}^{2n}\left(1-\exp \frac{-2k\pi i}{2n+1}\right)\\ &= \frac{1}{2^{2n}}\prod_{k=1}^{2n}\left(1-\exp \frac{-2k\pi i}{2n+1}\right). \end{align}$$

Consideremos ahora el polinomio

$$P(X) = \prod_{k=1}^{2n} \left(X - \exp \frac{-2k\pi i}{2n+1}\right).$$

Todas sus raíces son $2n+1$ -raíces de la unidad distintas de $1$ y todos son distintos, ya que

$$\frac{-k}{2n+1} - \frac{-j}{2n+1} \notin \mathbb{Z}$$

para $k\neq j$ y $1 \leqslant k,j \leqslant 2n$ . Así que tenemos

$$P(X) = \frac{X^{2n+1}-1}{X-1} = X^{2n} + X^{2n-1} + \dotsc + X + 1,$$

y vemos que $P(1) = 2n+1$ lo que demuestra la primera ecuación.

El producto de los cosenos es similar, obtenemos

$$\prod_{k=1}^{2n} \cos \frac{k\pi}{2n+1} = \frac{(-1)^n}{2^{2n}} \prod_{k=1}^{2n}\left(1 + \exp \frac{-2k\pi i}{2n+1}\right).$$

En

$$Q(X) = \prod_{k=1}^{2n}\left(X + \exp \frac{-2k\pi i}{2n+1}\right) = P(-X),$$

encontramos $Q(1) = 1$ Así que

$$\prod_{k=1}^{2n} \cos \frac{k\pi}{2n+1} = \frac{(-1)^n}{2^{2n}}.$$

Dado que el factor de $k = 2n+1-j$ es el negativo del factor para $j$ , $1 \leqslant j \leqslant n$ tenemos

$$\prod_{k=1}^n \cos \frac{k\pi}{2n+1} = \frac{1}{2^n}.$$

La fórmula del producto de las tangentes es una consecuencia directa.

Answer 2

He aquí una prueba elemental de $(2)$ que puede ampliarse a $(1)$ con algo de trabajo: En primer lugar, ya que $\cos nx=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)$ por inducción $\cos nx$ es siempre un polinomio de $y=\cos x$ con grado $n$ y la misma paridad que $n$ . Entonces, vemos que el coeficiente del término más alto es el doble del anterior, así que por otra inducción el coeficiente de $y^n$ en $\cos nx$ es $2^{n-1}$ . Consideremos los ceros de $f(x)=\cos((2n+1)x)-1$ . Puesto que sabemos que $\cos((2n+1)x)$ es un polinomio impar de $\cos x$ no tiene un término constante. Así que el término constante de $f$ es $-1$ . Así que por Vieta

$$\prod^{2n}_{k=0} \cos\frac{2k\pi}{2n+1} = \frac{1}{2^{2n}}$$

Aprovechar la simetría $\cos x = -\cos(x-\pi)=-\cos(\pi-x)$ y el olvido $k=0$ obtenemos $$(-1)^{n}\prod^{2n}_{k=1} \cos\frac{k\pi}{2n+1}=2^{-2n}$$ Por la misma simetría, tenemos $$\left(\prod^{n}_{k=1}\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right)^2=2^{-2n}$$

Cada término dentro del paréntesis es positivo, por lo tanto $(2)$

Answer 3

Dato interesante utilizado en la respuesta de Daniel Fischer: los números complejos $\cos{k\pi\over n}+i\sin{k\pi\over n}$ , $k=1,\cdots n$ son las raíces complejas de la unidad (raíces del polinomio $z^n-1$ . De este modo se pueden demostrar muchas fórmulas similares. Dos ejemplos: $$ \sin{\pi\over n}\sin{2\pi\over n}\sin{3\pi\over n}\cdots\sin{(n-1)\pi\over n} = {n\over 2^{n-1}}. $$

$$ 1+\cos\theta+\cos 2\theta+\cdots+\cos n\theta = {1-\cos\theta+\cos n\theta-\cos(n+1)\theta\over 2-2\cos\theta}. $$