Integral: $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2}\mathrm dx$

Question

No sé cómo se evalúan. Sé que hay un método que utiliza la función gamma. PERO quiero saber la solución utilizando un método de cálculo como las coordenadas polares.

$$\int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-x^2}\mathrm dx$$

Voy a esperar una solución. Gracias.

Answer 1

Con el fin de resolver la integral en coordenadas polares considerar en primer lugar $I_s = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-s x^2} \mathrm{d} x$. La integral que buscamos ser obtenido por la diferenciación como $-\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} I_s \right|_{s=1}$.

Ahora, para evaluar $I_s$:

$$ I_s^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d} x \cdot \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-s y^2} \mathrm{d} y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-s (x^2 + y^2)} \, \mathrm{d} x \mathrm{d} y $$ Ahora el cambio de variables a coordenadas polares $x = r \sin \theta$$y = r \cos \theta$. $$ I_s^2 = \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^\infty \mathrm{e}^{-s r^2} \cdot r \, \mathrm{d} r = \pi \int_0^\infty \mathrm{e}^{-s, t} \mathrm{d} t = \frac{\pi}{s} $$ donde $t = r^2$ cambio de variable se ha realizado.

Ahora, desde la $I_s > 0$$s >0$, obtenemos $I_s = \sqrt{\frac{\pi}{s}}$.

La integral en cuestión ahora de la siguiente manera: $$ \int_{-\infty}^\infty x^2 \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d} x = \left. -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \sqrt{\frac{\pi}{s}} \right|_{s=1} = \left. \frac{\sqrt{\pi}}{2}^{- \frac{3}{2}} \right|_{s=1} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} $$

Answer 2

(Como el OP quiere una solución sin el uso de la función gamma.) Siguiente Davide sugerencia, podemos escribir: $$ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot (-2x e^{-x^2}) dx. $$ Deje $u = x$$v = e^{-x^2}$. Tenemos $\frac{dv}{dx} = -2xe^{-x^2}$. La integración por partes: $$ -\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} u \frac{dv}{dx} dx = -\frac{1}{2} \left. uv \right|_{-\infty}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} v \frac{du}{dx} dx. $$ Lo voy a dejar como un ejercicio para calcular el primer término. (Sugerencia: debe salir a $0$. :)) La integral que aparece en el segundo término (sin tener en cuenta el factor de $\frac{1}{2}$ en la frente) se simplifica a: $$ \int_{-\infty}^{\infty} v \frac{du}{dx} dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx. $$ Este es el famoso Gaussiano integral, cuyo valor es $\sqrt{\pi}$. Ahora debería ser capaz de evaluar la integral fácilmente.

Answer 3

Detallando Srivatsan Narayanan de la solución. Es conocido que el funcional la ecuación de la función gamma pueden ser derivados de la aplicación de la integración por partes de la técnica. Su valor en $1/2$ puede ser evaluado mediante el cálculo de una doble integral sobre el primer cuadrante en coordenadas Cartesianas y coordenadas polares. Vamos aplicar ideas similares en este caso. Deje $f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}$. Desde $ f(-x)=f(x)$ the integral $\int_{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm{d}x=2\int_{0}^{\infty }f(x)\mathrm{d}x$. La integración por partes $$ \int x^{2}e^{-x^{2}}\mathrm{d}x=\int x\cdot xe^{-x^{2}}\mathrm{d}x, $$ desde $$ \int xe^{-x^{2}}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}e^{-x^{2}} $$ y $\frac{dx}{dx}=1$, obtenemos $$\begin{eqnarray*} \int x^{2}e^{-x^{2}}\mathrm{d}x &=&x\left( -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}\right) -\int -\frac{ 1}{2}e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x \\ &=&-\frac{1}{2}xe^{-x^{2}}+\frac{1}{2}\int e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x.\tag{0} \end{eqnarray*}$$

Y así, $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-x^{2}}dx &=&\left. -\frac{1}{2} xe^{-x^{2}}\right\vert _{0}^{\infty }+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x \\ &=&\left( \lim_{c\rightarrow \infty }-\frac{1}{2}ce^{-c^{2}}\right) +\frac{1 }{2}0e^{-0^{2}}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x \\ &=&0+0+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x \\ &=&\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x.\tag{1} \end{eqnarray*}$$

En consecuencia, $$ I:=\int_{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-x^{2}}\mathrm{d}x=2\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-x^{2}}\mathrm{d}x=\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x.\la etiqueta{2} $$

Para evaluar esta última integral se calcula la siguiente integral doble en Cartesianas y coordenadas polares ($r^{2}=x^{2}+y^{2}$, $x=r\cos \theta es decir ,y=r\sin \theta $). Since the Jacobian of the transformation $\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=r$, tenemos $$ \int_{x=0}^{\infty }\int_{y=0}^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\theta =0}^{\pi /2}\int_{i=0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta.\la etiqueta{3} $$ La comparación de la LHS $$ \int_{x=0}^{\infty }\int_{y=0}^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\left( \int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\mathrm{d}x\right) \left( \int_{0}^{\infty }e^{-y^{2}}\mathrm{d}y\right) =I^{2}\etiqueta{4} $$ con la RHS $$\begin{eqnarray*} I^2 &=&\int_{\theta =0}^{\pi /2}\int_{r=0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \frac{\pi }{2}\int_{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\mathrm{d}r \\ &=&\frac{\pi }{2}\left. \left( -\frac{1}{2}e^{-r^{2}}\right) \right\vert _{0}^{\infty }=\frac{\pi }{2}\left( \lim_{c\rightarrow \infty }-\frac{1}{2} e^{-c^{2}}+\frac{1}{2}e^{-0^{2}}\right) \\ &=&\frac{\pi }{2}\left( 0+\frac{1}{2}\right) =\frac{\pi }{4},\tag{5} \end{eqnarray*}$$ los rendimientos $$ I=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.\la etiqueta{6} $$

Answer 4

En primer lugar, puesto que el integrando es simétrica alrededor de $0$, se puede escribir como dos veces la integral de$0$$\infty$. Ahora, el cambio de variables dejando $u=x^2$, de modo que $du=2xdx$. A continuación, nuestros integral se convierte en $$\int_{-\infty}^\infty x^2e^{-x^2} dx=\int_{0}^\infty xe^{-x^2} 2xdx=\int_{0}^\infty u^{\frac{1}{2}} e^{-u}du=\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) =\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$ by the definition of the Gamma function along with the fact that $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$. (7 proofs of this last identity, or equivalently the identity $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}$ se dan en esta Matemática de Intercambio de la Pila post.)

Answer 5

Si usted sabe que $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}=\sqrt\pi$, entonces usted puede utilizar para resolver esto.

La diferenciación $e^{-x^2}$ dos veces,

$$\frac{d^2}{dx^2}e^{-x^2}=-2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}$$

Ahora la integral de la izquierda es $0$$\int\left(\frac{d^2}{dx^2}e^{-x^2}\right)dx=\frac{d^2}{dx^2}\int e^{-x^2}dx=\frac{d^2}{dx^2}\sqrt\pi=0$.

Para la integración, obtenemos

$$\begin{array}{rcl} 0&=&\int -2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}\,dx\\ &=&-2\sqrt\pi+4\int x^2e^{-x^2}\,dx\\ \implies\int x^2e^{-x^2}\,dx&=&\frac{\sqrt\pi}{2} \end{array} $$