¿Cuál es el resto al $25^{889}$ se divide por 99 ?
$25^3$ dividido por $99$ da $26$ como un resto.
$25*(25^3)$ dividido por $99$ da (resto al $25*26$ se divide por $99$) como un resto.
es decir, $25*(25^3)$ dividido por $99$ da $56$ como un resto.
$(25^3)*(25^3)$ dividido por $99$ da (resto al $26*26$ se divide por $99$) como un resto.
es decir, $(25^3)*(25^3)$ dividido por $99$ da $82$ como un resto.
Tenga en cuenta que $11\cdot 9 = 99$: por lo que considerar el $25^{889} \;\text{mod}\; 11, \;\text{and mod}\;9$
Se puede ver cómo se aplican de Fermat Poco Teorema de aquí? Y tal vez es la generalización: el Teorema de Euler?
$25^{889}$
= $25^{7*127}$
= $(25^7)^{127}$
= $(25*625*625*625)^{127}$
= $(25*625^3)^{127}$
= $(25*(99A+31)^3)^{127}$
= $(99B + 25*(31)^3)^{127}$
Resto al $(25*(31)^3)^{127}$ se divide por el 99
= Resto al $(25*31*961)^{127}$ se divide por el 99
= Resto al $(25*31*70)^{127}$ se divide por el 99
= Resto al $(25*2170)^{127}$ se divide por el 99
= Resto al $(25*91)^{127}$ se divide por el 99
= Resto al $(2275)^{127}$ se divide por el 99
= Resto al $(97)^{127}$ se divide por el 99
= Resto al $97*(97^2)^{63}$ se divide por el 99
= Resto al $97*(9409)^{63}$ se divide por el 99
= Resto al $97*(103)^{63}$ se divide por el 99
= Resto al $97*(4)^{63}$ se divide por el 99
= Resto al $97*(2^9)^{14}$ se divide por el 99
= Resto al $97*(512)^{14}$ se divide por el 99
= Resto al $97*((17)^2)^{7}$ se divide por el 99
= Resto al $97*(289)^{7}$ se divide por el 99
= Resto al $97*(91)^{7}$ se divide por el 99
= Resto al $97*91*((91)^2)^{3}$ se divide por el 99
= Resto al $97*91*(8281)^{3}$ se divide por el 99
= Resto al $97*91*(163)^{3}$ se divide por el 99
= Resto al $97*91*(64)^{3}$ se divide por el 99
= Resto al $97*91*(2^9)^{2}$ se divide por el 99
= Resto al $97*91*(512)^{2}$ se divide por el 99
= Resto al $97*91*(17)^{2}$ se divide por el 99
= Resto al $97*91*(289)$ se divide por el 99
= Resto al $97*91*(91)$ se divide por el 99
= Resto al $97*(8281)$ se divide por el 99
= Resto al $97*(163)$ se divide por el 99
= Resto al $97*64$ se divide por el 99
= Resto al $95*32$ se divide por el 99
= Resto al $67*4$ se divide por el 99
= Resto al $70$ se divide por el 99
El resto es de 70
Por favor, utilice la Calculadora.
$\rm mod\ 9\!:\ 25^3\equiv (-2)^3\equiv -8\equiv 1\:\Rightarrow\:n = 25^{889}\equiv 25^{889\ mod \ 3}\equiv 25\equiv \color{#0A0}{-2}$
$\rm mod\ 11\!:\ 25^5\equiv 5^{10}\equiv 1\:\Rightarrow\:n = 25^{889}\equiv 25^{889\ mod\ 5}\equiv 25^4 \equiv 3^4\equiv (-2)^2\equiv \color{#C00}4$
$\rm mod\ 9\!:\ \color{#0A0}{{-}2} \equiv n\equiv \color{#C00}4\!+\!11k\equiv 4\!+\!2k\:\Rightarrow\:k\equiv -3\equiv\color{blue}{6}\:\Rightarrow\:n = 4\!+\!11(\color{blue}{6}\!+9\,j) = 70+99\,j$
El Uso De Carmichael De La Función, $\lambda(99)=$lcm $(\lambda(9),\lambda(11))=$lcm$(3(3-1),10)=30$
Por eso, $5^{30}\equiv1\pmod {99}$
Ahora, $25^{889}=(5^2)^{889}=5^{1788}$
También, $1778\equiv 8\pmod {30}\implies 25^{889}=5^{1780}\equiv5^8\pmod {99}$
$5^2=25,5^3=125\equiv26\pmod{99},5^4\equiv26\cdot5\equiv31\pmod{99},$
$5^8=(5^4)^2\equiv(31)^2\pmod{99}\equiv961\equiv-29\pmod{99}$ $990=99\cdot10$
Por eso, $5^8\equiv-29\pmod{99}\equiv70$
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