Unión disjunta de conjuntos estacionarios

Question

Dejemos que $\kappa$ sea un cardinal regular incontable, y sea $\lambda < \kappa$ ser un cardenal regular. Entonces el conjunto $$E_{\lambda}^{\kappa} := \{ \alpha < \kappa \mid \operatorname{cf}\alpha = \lambda \}$$ es estacionario en $\kappa$ . Es un resultado que todo subconjunto estacionario de $E_{\lambda}^{\kappa}$ es la unión disjunta de $\kappa$ conjuntos estacionarios. Ahora definamos $$S = \{\alpha < \kappa \mid \operatorname{cf}\alpha<\alpha\}.$$

En el capítulo 8, Jech hace la siguiente afirmación: "Todo subconjunto estacionario $W \subseteq S$ es la unión disjunta de $\kappa$ conjuntos estacionarios: Por el Teorema de Fodor, existe algún $λ < κ$ tal que $W ∩ E_{\lambda}^{\kappa}$ es estacionario".

Estoy un poco confundido con esto. Esto es lo que he conseguido extraer de este problema: ¿Es cierto que S es siempre estacionario? En otras palabras, ¿es siempre posible que contenga subconjuntos estacionarios $W$ ?

Si es así, considere la función $\operatorname{cf}:W \to \kappa$ que da la cofinalidad de $\alpha \in S$ . Por definición, esto es regresivo (es decir, que $\operatorname{cf}\alpha < \alpha$ ) por lo que, por el Teorema de Fodor, existe un $\lambda < \kappa$ y un conjunto estacionario $T \subseteq W$ tal que $\operatorname{cf}\alpha = \lambda$ en $T$ . Si $\lambda$ es un cardenal regular entonces puedo ver que $T \subseteq E_{\lambda}^{\kappa} \cap W$ y así $W\cap E_{\lambda}^{\kappa}$ es estacionario como un superconjunto, y hemos terminado. Pero ¿qué pasa si $\lambda$ no es un cardenal regular, y entonces $E_{\lambda}^{\kappa}$ ¿no tiene sentido?

Se agradecería cualquier ayuda al respecto.

Answer 1

Dejemos que $\Lambda$ denotan el conjunto de ordinales límite menores que $\kappa$ . Desde $\Lambda$ es un club $W\cap \Lambda$ es estelar. Ahora su argumento se mantiene aplicado a este estacionario.

Answer 2

Supongamos que $W\subseteq S$ es estacionario. Entonces, como usted dice, $\operatorname{cf}$ es una función de prensado en $W$ por lo que es constante en un subconjunto estacionario de $W$ , es decir, hay un estacionario $T\subseteq W$ y un $\lambda\in\kappa$ tal que $\operatorname{cf}\alpha=\lambda$ para cada $\alpha\in T$ . Las cofinalidades son siempre regulares, por lo que $\lambda$ es regular, $E_\kappa^\lambda$ se define, y claramente $T\subseteq W\cap E_\kappa^\lambda$ . Desde $T$ es estacionario, el conjunto posiblemente mayor $W\cap E_\kappa^\lambda$ también es estacionario, y todo está bien.

Añadido: Tenga en cuenta que $\lambda$ no puede ser $1$ que significaría que cada $\alpha\in T$ era un ordinal sucesor, y $T$ sería disjunta del cubo de los ordinales del límite y, por tanto, no sería estacionaria después de todo.

Answer 3

@Paul Slevin: No sigo su argumento. En primer lugar, si $\operatorname{cf}(\alpha)=\lambda$ entonces $\lambda$ debe ser regular. El conjunto de todos los $\alpha\in W$ con $\operatorname{cf}(\alpha)=\lambda$ es sólo $W\cap E_\lambda^\kappa$ . Por el lema de Fodor, esto es estacionario para algunos $\lambda<\kappa$ . Además, como ya se ha señalado, el conjunto de ordinales sucesores no es estacionario y, por tanto, el $\lambda$ que se obtiene del lema de Fodor no es $1$ . Así, sabemos que para algunos regulares $\lambda>1$ , $W\cap E_\lambda^\kappa$ es estacionario. Pero no sabemos si $E_\lambda^\kappa\subset W$ que usted parece afirmar.

Parece que aún no se ha abordado lo siguiente: si el conjunto $S$ contiene un conjunto estacionario.

Desde $\kappa$ es incontable, existe un cardinal regular (infinito) $\lambda<\kappa$ . Ahora el conjunto de todos los $\alpha<\kappa$ con $\operatorname{cf}(\alpha)=\lambda$ y $\alpha>\lambda$ es un subconjunto estacionario de $S$ . ¿Por qué? Porque es la intersección de un conjunto estacionario, a saber $E_\lambda^\kappa$ y un club, a saber $\kappa\setminus(\lambda+1)$ .