Volumen medio de juego de cubos con la media y la varianza de sus longitudes de los lados.

Question

Primero, he intentado esta pregunta: Las longitudes de los lados de un conjunto de cuadrados tienen un promedio de 5 y de la varianza de 4. ¿Cuál es su promedio de área?

Sea X = El Lado De Longitud

A partir de esta pregunta , supe que tenía para calcular el $E(X^2)$.

es decir,$$Var(X) = E(X^2) - E(X)^2$$ and as, $$Var(X) = 4, E(X) = 5$$ El área promedio del conjunto de los cuadrados es, por tanto,$E(X^2) = 29$.

Sin embargo, si la pregunta estaba hablando acerca de un conjunto de cubos, ¿cómo podría trabajar fuera de su volumen promedio? Es posible que a partir de sólo la información dada? (Tampoco implican $E(X^3)$ por casualidad ¿demasiado?)

Answer 1

Estoy de acuerdo con su conclusión de que el problema consistiría en encontrar $\mathbb{E}(X^3)$.

En general, conocer la media y la varianza no es suficiente para calcular el tercer momento de una distribución. Hay algunas excepciones, por ejemplo la distribución normal.

Para algunas distribuciones, sin embargo, usted tendría que toda la función de distribución (o algo equivalente, por ejemplo, la función característica) para calcular el tercer momento, incluso teniendo en cuenta el primer y segundo momentos.

Como un ejemplo, considere la distribución t de Student para $2 < \nu \le 3$. El tercer momento incluso no existen, pero el primero y segundo momentos de hacer y puede ser especificado.

https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution

Por supuesto, un ejemplo de esto probablemente no es de mucho uso para este problema, desde longitudes de los lados son inherentemente no-negativos, y la t de student'distribution alcanza valores negativos.

Sin embargo, me imagino que sería relativamente sencillo para hacer un solo lado de la versión de la distribución t de Student para $2 <\nu \le 3$ (pero no me fijé en esto) para los que todavía tenemos el mismo problema.

EDIT: Sí, es posible.

Tome $\nu=3$, luego

$2\frac{\Gamma(2)}{\sqrt{3\pi} \Gamma(\frac{3}{2})} (1 + \frac{x^2}{3})^{-2}$ $x\ge 0$

y

0 en caso contrario

es la función de densidad de una no-negativo de distribución con finito, por lo tanto se define la media y la varianza, pero no definido tercer momento. Así, las longitudes de los lados $X$ asumiría físicamente sensible (es decir, no-negativo) valores con probabilidad uno, como su varianza, pero todavía sería imposible hacer cualquier predicción sobre el promedio de volumen de cubos formados a partir de dichos lados.