Probar que si $a,b \in \mathbb{N}^*$ $\frac{\pi a^n}{n!} \int ^{1}_{0}x^n(1-x)^n \sin (\pi x) dx \in \mathbb{N}$

Question

Tengo un ejercicio, cuyo objetivo es mostrar que $\pi^2$ es irracional por la contradicción. Suponemos que a $\frac{a}{b} = \pi ^2$$a,b \in \mathbb{N} ^*$. Ponemos a $$N_n = \frac{\pi a^n}{n!} \int ^{1}_{0}x^n(1-x)^n \sin (\pi x) dx$$

Yo se pidió por primera vez para mostrar que $N_n > 0 $ y $\lim_{n\to\infty} N_n = 0$, lo cual hice.

Luego me pide que muestran que $\forall n \in \mathbb{N}, N_n \in \mathbb{N}$ y luego concluir. Se me pide que use integración por partes.

Integrando dos veces, me parece que $N_n$ es también igual a la $$ \frac{\pi a^n}{(n-1)!} \int ^{1}_{0}x^n (1-x)^n \sin(\pi x) dx $$ which allows me to conclude that $$\frac{\pi a^n}{n!} = \frac{\pi a^n}{(n-1)!} $$ which is absurd. I guess at this point I managed to prove that $\pi ^2 $ is irrational, but I still want to know how could I proceed to show that $\forall n \mathbb{N}, N_n \in \mathbb{N} $?

Answer 1

Te perdiste algunos detalles cruciales (o tal vez su libro el autor está tratando de ser inteligente a través de la pérdida de estos y esperar a que se generen por sí mismo). El mismo ejercicio se da en Apostol del Análisis Matemático (problema 7.33 página 180) en un mucho mejor de la moda y describe Ivan Niven prueba de la irracionalidad de $\pi^{2}$. Añado algunos detalles que faltan.

Deje $\pi^{2}=a/b$ $f(x) =x^{n} (1-x)^{n}/n!$ y $$F(x) =b^{n} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}f^{(2k)}(x)\pi^{2n-2k}$$ The crucial thing to note here is that $f^{(k)} (0)$ and hence $f^{(k)} (1)$ are integers (prove this!) so that $F(0),F(1)$ are integers. Further there is this easily verifiable identity $$\frac{d} {dx} \{F'(x) \sin\pi x-\pi F(x) \cos \pi x\} =\pi^{2}a^{n}f(x) \sin\pi x$$ which upon integration leads to $$F(0)+F(1)=\pi a^{n} \int_{0}^{1}f(x)\sin\pi x\, dx$$ and thus your $N_{n} $ es un número entero positivo como se esperaba.

Niven de la prueba no es evidente y está basado en las ideas clave utilizado por primera vez en Hermite de la prueba de transcendentality de $e$. Es razonable suponer que a menos que uno es consciente de ello, la prueba es difícil llegar a todos por sí mismo.

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Este problema en particular fue la razón por la que compré Apostol del libro y resultó ser uno de los mejores libros que he. Esto sucedió mucho tiempo atrás, cuando no había acceso a Internet disponible para mí y yo estaba lo suficientemente desesperada para encontrar una prueba de la irracionalidad de $\pi$.